PDF《2018 年全国 III 卷数学（理）答案及解析》

2018 年全国 III 卷数学(理)答案及解析

2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一.

选择题:本题共

12 小题,每小题

5 分,共60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1、已知集合 , ,则=( ) A. B. C. D. 【答案】C 【考点】考察集合的交集运算 【难易程度】基础题 【解析】?集合 A 表示 的不等式, = ∩ B A ? ,故答案选 C

2、 =( ) A. B. C. D. 【答案】D 【考点】考察复数的运算 【难易程度】基础题 【解析】将式子直接展开运算,得:( )( ) i i i i i + = ? + = ? +

3 2

2 1

2 ,故答案选 D

3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼.图中木 构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构建咬合成长方体, 则咬合 是带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【考点】三视图 【难易程度】基础题 【解析】卯眼的空间立体图如图,同时需要注意在三视图中,看不见的线用虚线表示, 故答案选 A

4、若 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【考点】同角三角函数关系,二倍角公式 【难易程度】基础题 【解析】∵

2 2

7 cos2 1-2sin

1 9

9 α α = = - = ,故答案选 B.

5、

2 5

2 ( ) x x + 的展开式中 的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 【答案】C 【考点】二项式定理 【难易程度】基础题 【解析】?

2 5

2 ( ) x x + 的展开式中的第 r+1 项为 ,题目中需要求解 的系 数,需使

2 (5 )

4 r r * ? ? =,则2r=,∴ 的系数为 ,故答案选 C

6、

2 0 x y + + =分别与 x 轴, y 轴交于 A,B 两点,点P在圆

2 2 ( 2)

2 x y ? + = 上,则?ABP 的面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【考点】点到直线的距离 【难易程度】中等题 【解析】根据题目所给方程,作圆心 O 到线段 AB 上面的垂线,垂足为 D,交圆于一点 M,延长DM,交圆于点 N,MD 为?ABP 面积最小时的高,ND 为?ABP 面积最大时的高,将面积取 值范围问题转化为圆上一点到直线的最大值和最小值,故答案选 A 7.函数

4 2

2 y x x = ? + + 的图像大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【考点】函数图像以及性质 【难易程度】基础题 【解析】当x=1 时,函数值大于 0,排除 A、B;

因为 F(x)=F(-x),函数为偶函数,图像关于 y 轴 对称,

3 '( )

4 2 =0 F x x x = ? + 令 ,解得 x=

0、 、 ,函数在(-∞, )单调递增, ( ,0) 单调递减, (0, )单调递增, ( ,+∞)单调递减,故选 D. 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ,各成员的支付方式相互独立.设X为该群 体的

10 位成员中使用移动支付的人数, , ( 4) ( 6) P x p x = < = ,则p=( ) A. 0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 【答案】B 【考点】二项分布概率与方差 【难易程度】基础题 【 解析】使用移动支付符合二项分布,(1 )

10 (1 ) 2.4 DX np p p p 解得120.6 0.4 p p = = , . 因为 P(X=4) ,所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19.(12 分) 如图,边长为

2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,M 是 上异 于 的点. (1)证明:平面 平面 ;

(2)当三棱锥 ABC M ? 体积最大时,求面 MAB 与MCD 面 所成二面角的正弦值. 【考点】面面垂直证明,求二面角;

【难度程度】中等题 【解析】 (1) 根据面面垂直性质得到 ⊥ AD 所在平面, 再根据直径的性质得到 DM CM ⊥ , 然后得到线面垂直,即可证得 BMC AMD 平面 平面 ⊥ ;

(2)建立空间直角坐标系即可解出;

解: (1)证明:因为半圆弧面 ABCD 面⊥交线为CD ,面ABCD 为正方形, 所以 CD AD ⊥ ,所以 ⊥ AD 半圆弧面 ,又因为 ? CM 半圆弧面 , 所以 CM AD ⊥ ①,又因为CD 为直径,所以 DM CM ⊥ ②, AD DM D = ? ③,由①②③得AMD CM 平面 ⊥ ,又因为 BMC CM 平面 ? ;

所以 BMC AMD 平面 平面 ⊥ . (2)由题可知当 M 在半圆弧 的最高点时,三棱锥 ABC M ? 体积最大, 如图,以OM OC OE , , 所在直线分别为 z y x , , 轴建立空间直角坐标系. 所以点 )

1 ,

0 ,

0 ( M , )

0 ,

1 ,

2 ( ? A , )

0 ,

1 ,

2 ( B , 则)1,1,2(),

1 ,

1 ,

2 ( ? = ? ? = → → MB MA . 设平面 MAB 的法向量为 ,则由 ,

0 0 ? ? ? ? ? = ? = ? → → → → MB m MA m 得 解得: )

2 ,

0 ,

1 ( = ∴ → m 又易知平面 的一个法向量 设面 MAB 与面 所成二面角的大小为θ 则 ,所以 即面 与面 所成二面角的正弦值为 . 20. (12 分)已知斜率为 k 的直线l 与椭圆

2 2 :

1 4

3 x y C + = 交于 , A B 两点,线段 AB 的中 点为 (1, )( 0) M m m > (1)证明:

1 2 k < ? ;

(2)设FC为的右焦点,P C 为 上一点, 且++=0 FP FA FB ??? ? ??? ? ??? ? ? , 证明| FA FP FB ??? ? ??? ? ??? ? 成 等差数列,并求该数列的公差. 【考点】直线与圆锥曲线综合应用;

【难度程度】难;

【解析】利用中点弦得出 m k与 之间的关系,然后利用 m 的范围即可证得 k 的范围;

利用重心 求出 m 的值 (1)设),(), , (

2 2

1 1 y x B y x A , 则1342121=+yx①,1342222=+yx②,②①?可得4322?=?=abkm ,所以 m k

4 3 ? = ,又∵点),1(mM为椭圆内的点,且0>m,1=x当时,椭圆上点的纵坐标为

2 3

2 3 ? = = y y 或,∴ )

2 3 ,

0 ( ∈ m , ∴ )

2 1 , (

4 3 ? ?∞ ∈ ? = m k ,∴

2 1 ? < k (2)由)2,1(),3(02121mPyyxxPFP FB FA ? ? ? ? ? ? ? = + + → → → → 把点 P 代入椭圆方程得

1 4

3 ? = ? = k m ,将)43,1(M代入 b x y + ? = 中得

4 7 = b , ∴

4 7 + ? = x y ,所以由

0 1

56 28

1 3

4 4

7 2

2 2 = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + + ? = x x y x x y

14 21

3 14

2 ,

1 ± = ? x FP x c a e x c a e FB FA

2 3 ) ( ) (

2 2

1 2 = = ? + ? = + ? 即FP FB FA

2 = + 成等差数列 ∴

28 21

3 2

3 )

14 21

14 4 (

2 1 ± = ?

3 ± ? = ? = FP FA d 21.已知函数

2 2 ln

1 2 f x x ax x x . (1)若0=a,证明:当01