PDF《2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学》

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2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学

一、选择题:本题共

12 小题,每小题

5 分,共60 分.

在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ? ?

4 |

2 M x x ? ? ? ? , ? ?

2 6

0 | N x x x ? ? ? ? ,则MN??()A.? ?

4 |

3 x x ? ? ? B.? ?

2 |

4 x x ? ? ? ? C.? ?

2 |

2 x x ? ? ? D.? ?

3 |

2 x x ? ? 2.设复数 z 满足

1 z i ? ? , z 在复平面内对应的点为? ? , x y ,则( ) A.? ?

2 2

1 1 x y ? ? ? B.? ?

2 2

1 1 x y ? ? ? C.

2 2

1 1 x y ? ? ? ( ) D. ? ?

2 2

1 1 x y ? ? ? 3.已知

2 log 0.2 a ? ,

0 2

2 b ? . ,

0 3 0.2 c ? . ,则( ) A. a b c ? ? B. a c b ? ? C. c a b ? ? D. b c a ? ? 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

5 1

2 ? (

5 1 0.618

2 ? ? ,称为黄金分割比例) ,著名的"断臂维纳斯"便是如此.此外,最美人体的头 顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

5 1

2 ? .若某人满足上述两个黄金分割比例,且 腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为

26 cm ,则其身高可能是( ) A.

165 cm B.

175 cm C.

185 cm D.

190 cm 5.函数 ? ?

2 sin cos x x f x x x ? ? ? 在? ? , ? ? ? 的图像大致为( ) A. B.

2 真题源于网络,星火仅作收集及整理, 答案仅供参考,准确答案请以官方发布为准 C. D. 6.我国古代典籍《周易》用"卦"描述万物的变化.每一"重卦" 由从下到上排列的

6 个爻组成,爻分为阳爻"一"和阴爻"- -" ,右图就是一重卦,在 所有重卦中随机取 一重卦,则该重卦恰有

3 个阳爻的概率是( ) A.

5 16 B.

11 32 C.

21 32 D.

11 16 7.已知非零向量a ,b 满足

2 a b ? ,且? ? a b b ? ? ,则a 与b 的夹角为( ) A.

6 ? B.

3 ? C.

2 3 ? D.

5 6 ? 8.右图是求

1 1

2 1

2 2 ? ? 的程序框图,图中空白框中应填入( ) A.

1 2 A A ? ? B.

1 2 A A ? ? C.

1 1

2 A A ? ? D.

1 1

2 A A ? ? 9. 记nS为等差数列? ? n a 的前n 项和. 已知

4 0 S ? ,

5 5 a ? , 则()A.

2 5 n a n ? ? B.

3 10 n a n ? ? C.

2 2

8 n S n n ? ? D.

2 1

2 2 n S n n ? ? 10.已知椭圆C 的焦点为 ? ?

1 1

0 F ? , , ? ?

2 1,0 F ,过2F的直线与C 交于 A , B 两点,若222AF F B ? ,

1 AB BF ? ,则C 的方程为( ) A.

2 2

1 2 x y ? ? B.

2 2

1 3

2 x y ? ? C.

2 2

1 4

3 x y ? ? D.

2 2

1 5

4 x y ? ? 11.关于函数 ? ? sin sin f x x x ? ? 有下述四个结论: ① ? ? f x 是偶函数 ② ? ? f x 在区间 π ,π

2 ? ? ? ? ? ? 单调递增

3 真题源于网络,星火仅作收集及整理, 答案仅供参考,准确答案请以官方发布为准 ③ ? ? f x 在? ? π,π ? 有4 个零点 ④ ? ? f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 12. 已知三棱锥 P ABC ? 的四个顶点在球O 的球面上,PA PB PC ? ? , ABC ? 是边长为2的正三角形, E , F 分别是 PA , AB 的中点,

90 CEF ? ? ?,则球O 的体积为( ) A.8 6π B.

4 6π C.

2 6π D. 6π

二、填空题:本题共

4 小题,每小题

5 分,共20 分. 13.曲线 ? ?

2 3 x y x x e ? ? 在点? ? 0,0 处的切线方程为_ 14,记nS为等比数列{ } n a 的前n 项和,若113a?,246aa?,则

5 S ? 15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束)根 据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为"主主客客主客主" ,设甲队主场取胜的概率为0.6 ,客 场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是_______. 16.已知双曲线

2 2

2 2 0, 1( )

0 : x y C a b a b ? ? ? ? 的左、右焦点分别为

1 F ,

2 F ,过1F的直线与C 的两条渐近 线分别交于 A , B 两点.若1FAAB ? ???? ??? ? ,

1 2

0 F B F B ? ? ???? ???? ? ,则C 的离心率为_

三、解答题:共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21 题为必考题,每个试 题考生都必须作答.第

22、23 题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60 分. 17. (12 分) ABC ? 的内角 A , B ,C 的对边分别为a,b ,c.设? ?

2 2 sin sin sin sin sin B C A B C ? ? ? . (1)求A;

(2)若22abc??,求sinC . 18. (12 分) 如图,直四棱柱

1 1

1 1 ABCD A B C D ? 的底面是菱形,

1 4 AA ? ,

2 AB ? ,

60 BAD ? ? ? ,E ,M ,N 分别是 BC ,

1 BB ,

1 A D 的中点.

4 真题源于网络,星火仅作收集及整理, 答案仅供参考,准确答案请以官方发布为准 (1)证明: MN ? 平面

1 C DE ;

(2)求二面角

1 A MA N ? ? 的正弦值. 19. (12 分) 已知抛物线

2 :

3 C y x ? 的焦点为 F ,斜率为

3 2 的直线l 与C 的交点为 A , B ,与 x轴的交 P . (1)若4AF BF ? ? ,求l 的方程;

(2)若3AP PB ? ??? ? ??? ? ,求AB . 20. (12 分) 已知函数 ? ? ? ? sin ln

1 f x x x ? ? ? , ? ? f x ? 为??fx的导数.证明: (1) ? ? f x ? 在区间

1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? , 存在唯一极大值点;

(2) ? ? f x 有且仅有

2 个零点. 21. (12 分) 为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验

5 真题源于网络,星火仅作收集及整理, 答案仅供参考,准确答案请以官方发布为准 方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只 施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的 白鼠多4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效,为了方便描述问题,约定:对于每轮试 验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得

1 ? 分;

若施以乙药的白鼠 治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分, 甲药得

1 ? 分;

若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分. 甲、 乙两种药的治愈率分别记为? 和?,一轮试验中甲药的得分记为 X . (1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分, ( 0,1,

8 i p i ? …, )表示"甲药的累计得分为i 时,最终认 为甲药比乙药更有效" 的概率, 则00p?,81p?,??111,2, ,7 i i i i p ap bp cp i ? ? ? ? ? ? ? , 其中 ? ?

1 a P X ? ? ? , ? ?

0 b P X ? ? , ? ?

1 c P X ? ? .假设 =0.5 ? , =0.8 ? . (i)证明:? ?? ?

1 0,1,2, ,7 i i p p i ? ? ? ? 为等比数列;

(ii)求4P,并根据

4 P 的值解释这种试验方案的合理性.

(二)选考题:共10 分,请考生在第

22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计 分. 22. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为

2 2

2 1

1 4

1 t x t t y t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (t 为参数) .以坐标原点O 为极点,x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为

2 cos

3 sin

11 0 ? ? ? ? ? ? ? . (1)求C 和l 的直角坐标方程;

(2)求C 上的点到l 距离的最小值. 23. 【选修 4-5:不等式选讲】 (10 分) 已知a,b ,c为正数,且满足

1 abc ? .证明:

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2 2

2 1

1 1 a b c a b c ? ? ? ? ? ;

(2)? ? ? ? ? ?

3 3

3 24 a b b c c a ? ? ? ? ? ? .