PDF《第十四章》

? 基本解法的分类和比较 ? 基本解法的推广和联合应用 ? 混合法与近似法 ? 超静定结构的特性 ? 关于计算简图的补充讨论 第十四章超静定结构总论 超静定结构总论 §14-1 超静定结构解法的分类和比较 力法类型 位移法类型 基本形式 力法 位移法 能量形式 余能法 势能法 渐近形式 (渐近力法) 力矩分配法、无剪力分配法 手算电算 矩阵形式 (矩阵力法) 矩阵位移法 说明:手算时,凡是多余约束多、结点位移少的结构用位移法;

反之用力法.

结构形式 适宜的方法 超静定桁架、超静定拱 力法 连续梁、无侧移刚架 力矩分配法 有侧移刚架 位移法无剪力分配法、联合法 §14-2 基本解法的推广和联合应用

一、力法中采用超静定结构的基本体系 X1 画M

1、MP 有现成的公 式可用

二、位移法中采用复杂单元 只需推倒复杂单元的刚度 方程,整体分析按常规步 骤进行. 单拱 单元 变截面单元 变截面单元

三、几种方法的联合应用(各取所长) 4I 4I 5I 3I 3I A B C D E F 20kN/m 4I 4I 5I 3I 3I A B C D E F 20kN/m 4I 4I 5I 3I 3I A B C D E F Δ=1 例题12-10 试用联合法求 图示刚架的弯矩图. F1P k11

0 1

1 11 用力矩分配法, 并求出F1P、k11 = + Δ P F k 再叠加M图. 例、联合应用力矩分配法与位移法求等截面连续梁结构的弯矩图. 8m 4m 4m 4m 4m 2m A B E C F D G 20kN/m 100kN 20kN [分析]图示结构中E点处有竖向线位移,故不能直接应用力矩分 配法,可利用位移法与力矩分配法联合进行计算. 选E点竖向线位移为位移法基本未知量,B、C点角位移用 力矩分配法计算. 解: (1)取E点竖向线位移为位移法基本未知量 k F P

11 1

1 0 Δ + = 典型方程为: (2)用力矩分配法求基本体系,在荷载作用下的弯矩图 8m 4m 4m 4m 4m 2m A B E C F D G 20kN/m 100kN 20kN c杆件相对线刚度 i EI AB =

8 i EI BE =

4 i EI EC =

4 i EI CD =

8 d杆端分配系数 μ BA =

2 5 μ BE =

3 5 μCE =

2 3 μCD =

1 3 e固端弯矩 M M ql AB BA = ? = ?

2 12 = ? * = ?

20 8

12 106

7 2 . kN.m M Pl m CD = ? +

3 16

2 = ? * * + = ?

3 100

8 16

20 130 kN.m MDC = * =

20 2

40 kN.m

2 3

1 3

3 5

2 5 -106.7 106.7 -130

40 -42.68 -64.02 -21.34 -128.0 64.0 -64.0 43.3 86.7 86.7 -86.7

40 128

64 86.7 73.3

40 7535

8 4

1 . = * F P F P

1 37

7 = . kN.m (3)用力矩分配法计算 时的弯矩图 Δ1

1 = 时,梁端固端弯矩: Δ1

1 = M i l i BE = ? = ?

3 3

4 Δ M i l i CE = =

3 3

4 Δ

2 3

1 3

3 5

2 5 -0.75 0.75 0.3 0.45 0.15 0.15 0.3 -0.3 -0.5 -0.25 0.25 -0.25 0.15i 0.25i 0.3i

0 275

8 4

11 . i k = * k i

11 01375 = . A B E C F D G (4)代入典型方程得

01375 37

7 0

1 . . iΔ + = Δ1

274 2 = ? . i (5)求作连续梁弯矩图 M M M P = + Δ1

1 169.1 18.3 18.3

40 170.9

160 128

64 86.7 73.3

40 0.15i 0.3i 0.25i 还有其它形式的联合应用,如力法与位移法的联合,力法与 力矩分配法的联合,力矩分配法与无剪力分配法的联合等. X1 力法与力矩分配法的联合 画M可用力 矩分配法求 画MP可 用公式求 力法与位移法的联合 P P/2 P/2 P/2 P/2 对称反对称对称问题按位 移法或力矩分 配法计算,反 对称问题按力 法或无剪切分 配法计算. §14-3 混合法 混合法的基本特点是:基本未知量中既有位移,又有力. C两个多余 未知力, 五个结点 位移.用 力法作. C合理的方法是混合法: 基本未知量:X1 X2θ3θ4 C六个多余 未知力, 两个结点 位移.用 位移法作. X2 X1 θ3 θ4 基本方程:变形条件、平衡条件. 变形条件:

0 0

2 4

24 3

23 2

22 1

21 1

4 14

3 13

2 12

1 11 = Δ + + + + = Δ + + + + P P X X X X θ δ θ δ δ δ θ δ θ δ δ δ 平衡条件: ∑ ∑ = + + = = + + =

0 ,

0 0 ,

0 DF DE DB D BD BC BA B M M M M M M M M A B C D E F 20kN/m 4m 4m 8m

4 m

4 m

3 m ↓↓↓↓↓ 20kN/m X1 θ2 例15-1 ↓↓↓↓↓ 20kN/m X1=1 M

3 7

160 MP

0 0

1 2

12 1

11 = + + = Δ + + BD BC BA P M M M X θ δ δ ( )

3 .

110 7

3 2

7 2

3 2

6 4

3 2

3 2

3 5

3 1

3400 5

160 4

1 1

4 3

3 3

160 5

3 1

2 2

11 1 = * * + * + * + * * = = * * + * * = Δ δ P

7 21

12 = =δ δ →110.3X1+7θ2+3400=0

160 7 1? ? = X M BD ,

4 1

4 2

2 = * = M BC θ θ ,

3 4

3 4

2 2 = * = M BA θ θ →-7X1+4θ2-160=0 X1=-30.3 θ2=-12.55 上部M图由叠 加得到,下部杆 端弯矩由刚度 方程得到. 69.91 50.21 =-37.65 =-12.55 MAB=1.5θ2 MCD=0.5θ2 =-18.83 =-6.28 37.65 18.83 12.55 6.28 M图(kN.M) EI=3 EI=1 EI=3 EI=1 B A C D §14-4 近似法

一、分层法 (适用于竖向荷载作用)两个近似假设 1)忽略侧移, 用力矩分配法计算. 2)忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响,把多层刚架 分成一层一层地计算. 除底层柱底外,其余各柱端是 弹性固定端.故将上层各柱的 i*0.9,传递系数改为1/3. 除底层柱底外,其余各柱端是 弹性固定端.故将上层各柱的 i*0.9,传递系数改为1/3. 柱的弯矩为相邻两层叠加. 刚结点上不平衡弯矩大时, 可再进行一次力矩分配. 柱的弯矩为相邻两层叠加. 刚结点上不平衡弯矩大时, 可再进行一次力矩分配. h

2 /2 h

2 /2

二、反弯点法 (适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构) P Δ Q1 Q2 Q2h2/2 Δ = Δ = k h i Q

2 12 Q Q1=k1Δ, Q2=k2Δ, P P k k Q i i i ∑ = 反弯点法(剪力分配法)的要点: 1)适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构(ib≥3ic);

2)假设:横梁为刚性梁,结点无转角,只有侧移. 3)各层的总剪力按各柱侧移刚度成比例地分配到各 柱. 4)上层各柱的反弯点在柱中点处,底层柱的反弯点常 设在柱的2/3高度处. 假设:横梁为刚性梁;

结点无转角.柱的反弯点在其中 点. 5)柱端弯矩由柱的剪力和反弯点的位置确定.边跨结 点梁端弯矩由平衡条件确定,中间结点两侧梁端弯 矩,按梁的转动刚度分配不平衡力矩得到. Q1+Q2=P ② ② ③ ④ ③ ③

12 12

15 15 例14-2 用反弯点法计算图示结构,并画弯矩图. 8kN 17kN 解:设柱的反弯点在中间. 1)求μ

428 .

0 2

3 2

3 ,

288 .

0 2

3 2

2 = + + = = + + = = EH IF GD μ μ μ

4 .

0 3

4 3

4 ,

3 .

0 3

4 3

3 = + + = = + + = = EH CF AD μ μ μ 顶层: 底层: 1)求各柱剪力 QGD=QIF=0.288*8=2.29kN QHE=0.428*8=3.42kN QAD=QCF=0.3*25=7.5kN QBE=0.4*25=10kN 8kN 17kN 3.6m 4.5m 3.3m 3.6m A B C D E F G H I 3.78 3.78 3.78 3.78 5.64 5.64 13.5 13.5 13.5 13.5

18 18 3.78 17.28 m=MEH+MEB=-5.64-18 =-23.64 MED=23.64*12/27=10.51 MEF=23.64*17/27=13.13 m=MEH+MEB=-5.64-18 =-23.64 MED=23.64*12/27=10.51 MEF=23.64*17/27=13.13 M图(kN.m) §14-5 超静定结构的特性

1、超静定结构是有多余约束的几何不变体系;

2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出,还 必须考虑变形条件;

如在力法计算中,多余未知力由力法方程(变形条件) 计算.再由M=∑MiXi+MP 叠加内力图.如只考虑平衡条件 画出单位弯矩图和荷载弯矩图,Xi是没有确定的任意值. 因此单就满足平衡条件来说,超静定结构有无穷多组解答.

3、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征 有关,即与刚度有关. 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关.因此在设计超 静定结构时须事先假定截面尺寸,才能求出内力;

然后再根 据内力重新选择截面. 另外,也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目 的. 8m

6 m 20kN/m I1 I2 I2 I1=2I2 53.3 53.3 106.7 20kN/m I1 I2 I2 I1>>I2 ≈0 106.7 ≈0 20kN/m I1 I2 I2 I1