PDF《古代罗马建筑中的数学》

年月日责任编辑 邵维伟 人类从茹毛饮血到聚群而居 住所也从山洞变成了 各种建筑 现代城市中 各种建筑更是不可或缺 而建筑 中又蕴涵着大量的数学知识 下面就让我们看看古代罗 马建筑中的数学知识 罗马拱 罗马拱是罗马建筑的重要组成部分 其他文明中也 使用拱及与它相关的形 式 如穹顶和拱顶 但只有在罗 马人的手中 它们才成为一种新型建筑的基本元素 通 过利用石头抗挤压的 特性 拱能横跨大型空间 半圆拱 券尤其容易建造 罗马人把它们广泛地用于桥梁 高架 渠 竞技场 神庙和别墅 以弗所 今土耳其 的哈德良神庙的拱 抽象地考虑一个典型的半圆形拱券 拱券以及组成 拱券的楔形块的形状由两个同心圆的上半部分及一些 半径确定 楔形块被称为拱石 顶部的拱石是拱顶石 位 于拱券和支撑柱之间的构件是拱墩 起拱点是指小圆上 拱券开始上升的点 起拱线是由起拱点确 定的线 通常 它是该拱券内部半圆水平方向上的直径 半圆形拱券结构 在建筑过程中 罗马人使用被称为拱鹰架的木制结 构使拱石保持在正确位置 拱石被固定在特定位置后 就可以把拱鹰架拿走了 支撑拱石的力被弯曲的拱券改 变了方向 转移到支撑柱上 从柱子又转到地面上 这些 力的稳定传送要依靠石头耐挤压的能力 不过要使这些 力沿弯曲的拱券向下平稳传送 还需要抑制它们向外的 水平分量 只有考虑到这些 拱券才能保持稳定 罗马拱的建造 现在我们转而研究拱石重量所产生的力 重点研究 它们向外的水平分量 假设拱券稳定且它只支撑自身的 重量 没有额外的负载 我们假设拱石是相同的 所以每 块拱石的重量都为 每块拱石的两条边的夹角都是 拱顶石被放在正确位置 两块拱石紧挨在它两侧 典型的拱石只由它下面的那一块拱石支撑 两块拱石的 接触面上存在与它垂直的向上的推力 沿着接触面方向 有摩擦力 两者的合力是位置较低的拱石对位置较高拱 石的总作用力 在大多数情况下 罗马建筑师在建拱券 时不使用灰泥 而依靠拱石精确的形状 因此 我们认为 拱石的边非常光滑 这样摩擦力的影响可 以忽略 假设 位置较低的拱石对位置较高拱石的推力垂直于它们的 接触面 我们将单独考虑一块 拱石 先从拱顶石开始研 究 由于拱券是对称的 我们可以假设对拱顶石的两个 推力大小相等 设为 因为这两个力的垂直分量一起支 撑了拱顶石的重量 则每个垂直分量均等于 则有 即 水平方向的分力 同理可得 拱顶两侧的拱石所受到的垂直方向的力 水平方向的力 以此类推 综上 拱墩水平方向受到的力为 古罗马建筑师维特鲁威称 当用到拱 最靠外 的墩柱必须建得比其他厚 这样当楔形石在墙的负载的 压力下开始 向外推拱座时 它们可以有一定的强度 来抵抗 这段话使人们确信罗马建筑师知道他们的 建筑需 要处理拱产生的水平推力 但是罗马建筑师和工程师不 可能定量分析力 力能分解成分量并可以用三角学进行 估计的想法超出了他们的知识范围 他们只能靠经验 在建造时反复试验 纠正以前出现的错误和误差 罗马竞技场 希腊人在半山坡上凿出大剧院 用山体支撑倾斜排 列的半圆形座位 而罗马人在城中的平地上修建剧场和 竞技场 这需要有大量的混凝 土 砌筑材料和石头作为 基础 罗马人使用拱券和筒 拱顶来支撑座位区 建立观 众入口 罗马剧院和竞技场四周带拱廊的外墙实际上是 半圆形或椭圆形分布的沟渠 罗马的马赛卢斯剧院建于 公元前 年至公元前 年 正是符合以上描述的一个范 例 其座位区约能容纳 人 环绕的半圆形拱廊半径 约为 米 罗马马赛卢斯剧院平面图 几十年之后 罗马人雄心勃勃地开展了一项大型项 目 罗马竞技场 罗马竞技场鸟瞰 罗马人究竟是如何构造出竞技场一系列椭 圆结构 的 这在学术上一直是个存在争议的问题 他们很有可 能是通过逐个连接圆 弧得到的 人们已经知道 早期的 一些小型罗马剧场的椭圆形结构是用圆弧构造的 方案 如下 在一片平坦 水平的地面上 画出一个等腰三角形 如图所示 三角形底边长度为 高为 顶点记为 从到与从 到 的边的长度都等于 紧挨着它再画一 个与它全等的三角形 使顶点 构成一个菱形 像 图中那样延长菱形的 条边 延长线的长度为 在 处钉上钉子 在点 处的钉子上系上一根 绳子 标出它 到 点的长度 从到画一条圆弧 接下来在钉子 处系 一条绳子 将它拉到 点从到画一条圆弧 接着在钉 子和处同样画出从 到 和从 到 的圆弧 这 条圆弧 连接起来就形成如图所示的椭圆 该椭圆在点 处从一个圆弧到另一个圆弧的过渡非常平滑 因为过 点的两条圆弧的两条切线重合 因此在 点的过渡是平 滑的 出于同样的原因 点处的过渡也是平滑的 图中给出了一个椭圆以及它的长短轴 另外两个椭圆可 以通过上述的方法重复构造 其中三角形仍为 而长度 却各不相同 从同一三角形 得到的椭圆我们称其互相 平行 但形状不同 如果 比三角形底边要长 则椭圆接近 于圆 如果 相对较短 则椭圆扁平 通过改变等腰三角形 的形状 罗马人可以构造出无数个不同形状的椭圆 椭圆的长轴长 从椭圆中心到圆弧 顶部的距 离为 则短轴的长度为 罗马人构造椭圆的方法 平滑的过渡 罗马椭圆 罗马建筑师就是用上述方法构造竞技场外 部椭圆 的吗 有可能 竞技场于公元 年完工 是最大的古代罗马遗迹 据估计 它的座位区能容纳 到人这里是罗 马皇帝用血腥场面娱乐大众的竞技场 观众们在此处观 赏角斗士搏斗到死 基督徒被狮子和老虎吞掉 这些 游戏在公元 年中断之后 竞技场遭到漠视 故意破坏 和地震的损害 在文艺复兴期间 它成为这座永恒之城 里新建筑的采石场 世纪中期 罗马教皇宣称竞技场 是纪念基督徒在此殉难的神圣纪念碑 停止了对它的拆 除 巍伟 整理 古代罗马建筑中的数学