PDF《第十九届北京高中数学知识应用 竞赛初赛参考解答》

2016年第55卷第1期 数学通报

59 第十九届北京高中数学知识应用 竞赛初赛参考解答

一、(满分20分)小颖看到一卷卫生纸(下右图) 上标明了重量,她想验证一下,就来到物理实验室, 用天平称后,正好是180克.

接下来她又想知道这卷 卫生纸的长度和单层卫生纸的厚度,但又不想将卫 生纸全都展开.请你利用物理实验室和包装上(下右 图)的信息,为小颖设计一种实现想法的方案. 需卜.繇,,

一出解以下的长度及厚度单位皆为mm. (1)求这卷卫生纸的长度 第一步:抽取一定长度的卫生纸(如40节), 用天平多次称重,计算平均值,设为口克;

第二步:由包装上的信息,每节卫生纸长度为 138,则40节长5520,180克卫生纸的总长度为 5520*塑. 口(2)求单层卫生纸的厚度 第一步:测量整卷卫生纸的直径和空心的直 径,设它们分别为D和d,并计算卫生纸的截面面

1 积为÷(D2一d2)7c;

吐 第二步:因为这款产品是3层的,故单层厚度

1 应为截面的面积除以总长度的.3倍,即为÷(Dz― d2)7【÷(5520*塑*3). 口

二、(满分20分)2015年6月中旬,经过北京 市自住房摇号,洪某摇中一套两居室自住房,户型 面积为84m2,销售均价为28000元/m2.他打算采 用公积金贷款的方式缴纳房款,经查询,五年以上 公积金贷款利率为4%,五年及以下公积金贷款 利率为3.5%.经过盘算,洪某打算贷款额度为所 购住房价款的70%(四舍五入精确到万),并选择 等额本息的还款方式还25年.但当他准备贷款 时,公积金贷款利率自2015年6月28日调整了, 五年以上公积金贷款利率为3.5%,五年及以下 公积金贷款利率为3%.问: (1)在原公积金贷款利率下,洪某每月需要还 款多少(精确到元)?25年总共还多少利息? (2)若洪某以之前设定好的每月还款额还款 (四舍五入到整数元),在调整了公积金贷款利率 后需要还多少年? 解(1)洪某所购住房价款为: 84*28000―2352000元 贷款额度为: 2352000*0.7―1646400元 即要贷款165万元. 在原公积金贷款利率下,洪某贷款25年,设 每月等额本息还款z元,得到各月末所欠银行贷 款额为: 第一个月末: y.一1650000*(1+%孚)一z 第二个月末: y.瓢*(・+訾)一工 =[蛐oooo*(,+紫)一z]*(,+紫)一z 钏soooo*(,+晋)-工[(,+紫)+1] 万方数据

60 数学通报 2016年第55卷第1期 圹了.*(・+訾)一z 钏soooo*(,+訾)3一z[(,+訾)2+ (,+訾)+,] '

以此类推,第300个月末: y跏一y瑚*(1+訾)一z一1650000* (,+訾)300一z[(,+喾)299+(,+訾)298+ …+(,+紫)+,] 一...*(,+豁一掣 1F 且y姗=0,由此可以解得 z一8709.31元25年总共还利息额为 8709*300一1650000=962700元(2)若每月仍还8709元,在现行公积金贷款 利率3.5%下需要还z个月;

那么在第z个月末, 贷款额为o,即y;

钏50000*(1+攀)I 竺业±鲎生):n 巡.求解方程,得到 z=276.15≈277(个月) 因此,若洪某以之前设定好的每月还款额还 款(四舍五入到整数元),在现行公积金贷款利率

三、(满分20分)2015年11月4日,某媒体 北京报道:在2013年3月13日曾经报道过京城 菜篮子 ,记者在一个菜市场调查,用10元钱可 以买3.3斤油麦菜,或者10斤胡萝卜,或者4根 大葱;

现在记者又来到菜市场调查,用10元钱买 同样的三种蔬菜,可以买3.3斤油麦菜,或者5斤 胡萝卜,或者10根大葱.记者由此给出结论:现在 京城 菜篮子 物价水平与两年前变化不大. 严同学看到上述信息,指出:这样的结论不可靠. (1)你同意严同学的观点吗?为什么? (2)如果同意严同学的观点,请你为 某媒体 作出2015年11月4日报道新方案,并对 菜篮 子 物价水平变化作出可靠分析. 解(1)同意.原因是以下两方面. 10蔬菜是季节性商品,不同季节的物价差异 很大,2013年3月13日是冬末春初,而2015年11月4日为秋末冬初,这两个季节的蔬菜价格没 有可比性. 2.报道中作出的结论只依据了10元钱购买 三种蔬菜价格变化情况,品种太少,权威部门的蔬 菜价格指数涉及到近20个蔬菜品种.可见用三种 蔬菜不足以说明问题. (2)为了作出 现在 (2015年11月4日)的 京城 菜篮子 物价水平与两年前比较的可靠的结 论报道,要分以下几步来做. 第一步:直接采集官方公布的2013年11月 初的某一天和2015年11月初的某一天的多种蔬 菜价格数据.由于权威部门的蔬菜价格指数涉及 到近20个蔬菜品种,所以这里数据涉及的品种也 要十几种才能说明一些问题.下面是来自中国好 鲜生网www.guoshul23.cn新发地农产品有限 公司在2013年11月5日和2015年11月3日16 种蔬菜的中间批发价数据,单位为元/斤. 豇豆 香菇 小白菜 白萝卜 胡萝卜 大白菜 苦瓜 洋白菜 2013年11月5日2.80 4.25 O.60 O.65 O.75 O.43 2.90 0.70 2015年11月3日2.40 3.OO O.40 0.28 O.48 O.30 2.10 O.40 黄瓜 土豆 菜花 茄子 芹菜 油麦菜 蒜苗 大葱 2013年11月5日1l