PDF《探索思考永无止境》

4 2 - 4. 有了这个题目的经验,忽然觉得在解决例

1 时 思路太狭隘了:一味地借助几何画板来探究路径, 而忽略了可将线段 OC 的长进行转化;

看到相等想 到了旋转,但是看到两边成比例的时候却丝毫没有 想到位似旋转变换,其实通过位似旋转变换也能让 点C与点 A 重合,进而顺利转化. 如图 5,将OBC 绕着点 B 顺时针旋转 90° ,再将边长放大到原来的

4 3 ,此时点 C 与点 A 重合,即OC AD =

3 4 ,那么求 OC 的最小值就是求 AD 的最小值,又转化到了圆外一 点到圆上各点连线的最小值问题. 由题意可知 BD = 4,则OD = 5,从而 ADmin =OD - OA =

5 -

3 = 2,故OCmin =

3 4 *

2 =

3 2 . 这样将线段 OC 进行转化,比一开始就找动点 的运动路径简单得多,由此笔者对例

2 进行了深入 探究,又得到了如下模型: 模型

1 如图 6,当∠A 为一个定值 α ,∠A 的 两边 AB,AC 的比 k(即AB AC = k)为一个定值时,且点 A 是定点,点B,C 是两个动点,如果点 B 的运动轨 迹是一个圆,我们可以得到点 C 的运动轨迹也必 定是一个圆. 图6图7证明 如图 7,假设点 B 在⊙E 上运动,联结 BE,AE,将线段 AE 绕着点 A 逆时针旋转角度 α ,同 时将线段 AE 的长变为原来的

1 k 得到定点 F,且满 足AE AF = k,于是通过两边对应成比例,且夹角相等 得到ABE∽ACF. 因为 BE 的长是一个定值,而k也是一个定值,于是得到 CF 也是定值,根据到定 点的距离等于定长可以得到点 C 的运动路径就是 ⊙F. 通过这种通法通性的证明,我们还可以得到两 个结论:1)两个圆的半径之比 BE CF 就是 k;

2)联结顶 点A与圆心 E,再将 AE 逆时针旋转角度 α ,同时将 线段 AE 的长变为原来的

1 k ,得到的点 F 就是所求 圆的圆心. 现在我们利用这个基本模型来解决例 1. 首先 ∠ABC = 90° 且点 B 为定点,点A,C 是两个动点,且AB BC =

4 3 为定值,满足基本模型,那么可以确定点 C 的运动路径与点 A 的运动路径是一致的,都是圆. 根据上述结论 1),能确定⊙O 的半径与这个圆的 半径 r 的比为

4 3 ,即3r=43,从而 r =

9 4 . 图8再利用上述结论 2) 确定 圆心,联结定点 B 与圆心 O(如图8),将线段 OB 逆时针旋转 90° ,同时将线段长变为原来的

3 4 ,得到的点 D 即为所求圆的 圆心,此时 BD =

9 4 . 利用勾股 定理可以求得 OD =

15 4 ,故OC 的最小值为 OCmin = OD - CD =

15 4 -

9 4 =

3 2 . 做到这里,收获甚大,这样的一个题目从开始 的迷茫到越做越精彩,还得到一个基本模型,并且 能应用到以后的求最值问题中,让隐性的思想方法 浮出水面,从懵懂到熟悉到内化,从自觉提炼到自 觉综合运用,使思维逐步深入和提升. 笔者相信这 也是数学能让广大的教师、学生去探究它的魅力所 在,刚开始的愚钝并不可怕,可怕的是没有继续进 行探究的信念,相信只要我们敢于探索,就会越走 越精彩. 这种思考、这种探索应当融入到我们的教 学生活中,学需思辨,保持朴素,富有生命力??唯 有如此,教师才能收获持久而深入的专业发展,学 生才能收获有效而智慧的学习态度. ・

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2018 年第

1 期 中学教研(数学) 万方数据