PDF《EXERCISE THREE》

Di?erential Manifolds

1 EXERCISE THREE 5/23课堂交.

带***选做 1. 证明李导数与外导数的对偶定理. 设Ei为光滑流形上的局部标架场,δi 为 对应的局部余标架场.设李导数满足 [Ej, Ek] = ci jkEi, 对应有外导 数dδi = ?ci jkδj ∧ δk . ***证明:李导数与内乘可交换. 2. 证明 (a) 可定向流形的开子流形是可定向的. (b) 如果M是两个可定向的开子流形的并集,且两个开子流形的交集是 连通的,则M是可定向的. (c) 设M, N是可定向流形,证明:F : M → N是保定向的映射当且仅当 它在任一对定向相容的光滑坐标卡下表示的Jacobi矩阵的行列式大于 零. 3. 给定R3 上2-形式? = xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy. (a) 计算?在球坐标(ρ, φ, θ)下的表示;

(b) 计算d?在球坐标和欧氏坐标下的表示;

说明它们是同一个3-形式. (c) 计算诱导在球面上的2-形式?|S2 = i? ?,其中i : S2 → R3 . 用球面坐 标(φ, θ)表示. (d) 说明:?|S2 处处不为零.进而S2 是可定向流形. 4. 给定R3 \{0}上2-形式? =

1 (x2+y2+z2)3/2 (xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy). (a) 利用局部坐标卡直接计算单位球面上的积分 S2(1) ? = 4π;

提示:取球面坐标表示(φ, θ),球面由两个坐标卡覆盖.D1 = [0, π] * [0, π],D2 = [0, π] * [π, 2π]. (b) 计算任一半径为r的球面上的积分有 S2(r) ? = 4π. 5. 给定(M, g)可定向黎曼流形,证明以下局部坐标卡公式: (a) *** div(Xi ?xi) =

1 √ det g ? ?xi (Xi √ det g) (b) *** f = ?

1 √ det g ? ?xi (gij √ det g ?f ?xj ) (c) 特别对于n维欧几里德空间的标准度量,给出其公式. 6. 给定(M, g)为紧致的可定向黎曼带边流形,设N是边界上的单位外法向量 场. 证明 (a) 任意光滑函数f,向量场X,有div(fX) = f div X + grad f, X g Di?erential Manifolds

2 (b) (分部积分) M grad f, X gdVg = ?M f X, N d ? Vg ? M f div XdVg (c) (Green 公式) 任意光滑函数u, v, M u vdVg = M grad u, grad v gdVg ? ?M uNvd ? Vg (d) 说明当M连通且边界为空时,调和函数( u = 0)都是常数. 且所有 特征根( u = λu)为非负.