PDF《习题参考解答》

2 ], 不妨假 设x∈[xi, xi+1], 则由线性插值可知 f(x) 的近似值为 L1(x) = x ? xi+1 xi ? xi+1 f(xi) + x ? xi xi+1 ? xi f(xi+1). 由于函数值 f(xk) (k = 0, 1, 2,n) 存在舍入误差, 因此实际得到的近似值为 ? L1(x) = x ? xi+1 xi ? xi+1 ? f(xi) + x ? xi xi+1 ? xi ? f(xi+1), 其中 ? f(xi) 和?f(xi+1) 分别为 f(xi) 和f(xi+1) 的近似值. 所以总误差是 (这里不考虑由上面公式计算 ? L1(x) 时产生的舍入误差) |f(x) ? ? L1(x)| = |f(x) ? L1(x) + L1(x) ? ? L1(x)| ≤ |f(x) ? L1(x)| + |L1(x) ? ? L1(x)|. 由线性插值的误差估计可知 (可以参见例 2.7) |f(x) ? L1(x)| ≤ M2

8 (xi+1 ? xi)2 = M2h2

8 , 其中 M2 = max 0≤x≤π |f′′ (x)| = max 0≤x≤π | ? cos(x)| = 1. 有题意可知, ? f(xk) 具有

5 位有效数字, 根据定义可知 ? f(xk) ? f(xk) ≤ 0.5 * 10?5 , k = 0, 1, 2, 注意到 x ∈ [xi, xi+1], 因此 |L1(x) ? ? L1(x)| = x ? xi+1 xi ? xi+1 ・ ? f(xi) ? f(xi) + x ? xi xi+1 ? xi ・ ? f(xi+1) ? f(xi+1) ≤ x ? xi+1 xi ? xi+1 ・ 0.5 * 10?5 + x ? xi xi+1 ? xi ・ 0.5 * 10?5 = 0.5 * 10?5 . 所以总误差界为 |f(x) ? ? L1(x)| ≤ |f(x) ? L1(x)| + |L1(x) ? ? L1(x)| ≤ h2

8 + 0.5 * 10?5 ≈ 1.06 * 10?8 + 0.5 * 10?5 = 5.0106 * 10?6 . % 这里需要考虑插值误差和舍入误差. 另外, 涉及三角函数运算时, 度量单位一般采用弧度, 如求导. 5.2 函数插值 ・

115 ・ 2.4 设x0, x1,xn 为互异节点, 求证: (1) n ∑ j=0 xk j lj(x) ≡ xk (k = 0, 1,n);

(2) n ∑ j=0 (xj ? x)k lj(x) ≡

0 (k = 0, 1,n);

. 证明. (1) 略, 见(2.9). (2) 略, 证明方法与例 2.5 类似, 展开即可. 2.5 设f(x) ∈ C2 [a, b] 且f(a) = f(b) = 0, 求证: max a≤x≤b |f(x)| ≤

1 8 (b ? a)2 max a≤x≤b |f′′ (x)|. 证明. 设x0 = a, x1 = b, 则由题意可知 f(x0) = f(x1) = 0. 故f(x) 在x0, x1 上的线性插值多项式为 p1(x) = f(x0)l0(x) + f(x1)l1(x) = 0. 由多项式插值余项公式可知 f(x) ? p1(x) = f′′ (ξx) 2! (x ? x0)(x ? x1), ξx ∈ (x0, x1). 所以当 x ∈ [x0, x1] 时, 有|f(x)| = |f(x) ? p1(x)| = f′′ (ξx) ........