PDF《数学杂志》

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38 (

2018 ) No.

3 数学杂志J. of Math. (PRC) 素超代数的广义超导子和局部广义超导子 袁鹤(吉林师范大学数学学院, 吉林 四平 136000) 摘要: 本文研究了含有非平凡幂等元的素超代数 A 上广义超导子和局部广义超导子的问题. 利用引入幂等元的方法, 证明了 A 上的局部广义超导子均是广义超导子, 并给出了 A 上广义超导子的 一个刻画, 推广了 Foˇ sner 和王宇的结果. 关键词: 素超代数;

局部广义超导子;

广义超导子 MR(2010) 主题分类号: 17A70;

16N60;

16W25 中图分类号: O153.3 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2018)03-0481-09

1 引言 设A是代数, 若A上的线性映射 d 满足对于任意 a ∈ A 存在导子 da : A → A 使得 d(a) = da(a), 则称 d 是A上的局部导子. Kadison [1] 与Larson 和Sourour [2] 最先开始研究 局部导子, 他们得到一些特殊的代数上的局部导子是导子. Breˇ sar [3] 证明了含有非平凡幂等 元的素环上的局部导子是导子. Foˇ sner [4] 将Breˇ sar [3] 的结果推广到了超代数上.

1991 年, Breˇ sar [5] 给出了环上广义导子的定义: 若对于环 R 上的加法映射 g 存在 R 上导子 d 满足 g(xy) = g(x)y + xd(y), x, y ∈ R, 则称 g 是R上的广义导子. 王宇 [6] 研究了含有非平凡幂等 元的素环上的 Breˇ sar 意义下的局部广义导子.

2015 年, 赵延霞等 [7] 研究了可换环上上三角 矩阵李代数的局部自同构和局部导子. Nakajima 在文献 [8] 中还引入了另一种广义导子. 设A是代数, m ∈ A, g : A → A 是线 性映射, 如果 g(ab) = g(a)b + ag(b) + amb, a, b ∈ A, (1.1) 则称 (g, m) 是A上的广义导子. 特别地, 若A含有单位元 1, 则m=?g(1). Foˇ sner [9] 研究 了由幂等元生成的代数上的 Nakajima 意义下的局部广义 (α, β) - 导子. 根据 Nakajima 意义下的广义导子的定义, 我们给出了广义超导子和局部广义超导子的 定义. 证明了具有非平凡幂等元的素超代数上的局部广义超导子均为广义超导子, 还给出了 广义超导子的一个刻画. 下面给出一些本文将要用到的基础知识. 设Z2 = {0, 1} 表示

2 元域. 设Φ是含有单位元 的交换环. 设12∈Φ. 对于 Φ 上结合代数 A, 若存在 A 的Φ-子模 A0 和A1 满足 A = A0 ?A1 且AiAj ? Ai+j, i, j ∈ Z2, 则称 A 为Φ上超代数, A0 为A的偶部, A1 为A的奇部. 若a∈Ak, k = 0, 1, 则称 a 是齐次 k 阶元素, 记作 |a| = k. 用H(A) 来表示 A 中所有齐次元素 ? 收稿日期: 2016-07-19 接收日期: 2017-02-20 基金项目: 国家自然科学基金资助 (11171055);

吉林省科技发展计划项目资助 (20170520068JH);

吉林 省教育厅 十三五 科学技术研究项目资助 (吉教科合字 [2016] 第214 号). 作者简介: 袁鹤 (1983C), 女, 吉林四平, 助理研究员, 主要研究方向: 超代数.

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38 构成的集合. 设A是超代数, 若对于 a, b ∈ A0 ∪ A1, 当aAb =

0 时有 a =

0 或者 b = 0, 则称 A 为素超代数. 事实上, 若A是素超代数, a, b ∈ A 且其中有一个是齐次的, 则当 aAb =

0 时 也有 a =

0 或者 b = 0. 设g:A→A是Φ线性映射, i ∈ {0, 1}, 如果对于任意的 j ∈ Z2 均有 g(Aj) ? Ai+j, 则称 g 是i阶的. 定义 1.1 设A是超代数且 i ∈ {0, 1}. 若m∈Ai 与i阶线性映射 g : A → A 满足 g(ab) = g(a)b + (?1)i|a| ag(b) + (?1)i|a| amb, a, b ∈ A0 ∪ A1, (1.2) 则称 (g, m) 是A上i阶的广义超导子. 一个

0 阶广义超导子与一个