PDF《数学杂志》

484 数学杂志Vol.

38 因此 g(e0af) + e0g(a)f = g(e0a)f + e0g(af), e0 ∈ E0, f ∈ E, a ∈ A. 再由 (2.1) 式有 g(e0af1) + e0g(a)f1 = g(e0a)f1 + e0g(af1), e0 ∈ E0, f1 ∈ E1, a ∈ A. 类似地, 对于任意 f0 ∈ E0, e1, f1 ∈ E1, a ∈ A, 有g(e1af0) + (?1)i e1g(a)f0 = g(e1a)f0 + (?1)i e1g(af0), g(e1af1) + (?1)i e1g(a)f1 = g(e1a)f1 + (?1)i e1g(af1). 因此 g 满足 g(eaf) = g(ea)f + (?1)i|e| eg(af) ? (?1)i|e| eg(a)f, e, f ∈ H(E), a ∈ A. 引理 2.2 设g是A上i阶的局部广义超导子, 则g(paq) = g(pa)q + (?1)i|p| pg(aq) ? (?1)i|p| pg(a)q, p, q ∈ H(R), a ∈ A. 证 只需证明对于任意 e1,em, f1,fn ∈ H(E) 均有 g(e1 ・ ・ ・ emaf1 ・ ・ ・ fn) =g(e1 ・ ・ ・ ema)f1 ・ ・ ・ fn + (?1)i|e1・・・em| e1 ・ ・ ・ emg(af1 ・ ・ ・ fn) ? (?1)i|e1・・・em| e1 ・ ・ ・ emg(a)f1 ・ ・ ・ fn. (2.2) 先假设 m = 1. 现在对 n 用数学归纳法. 显然当 n =

1 时, (2.2) 式成立. 假设 (2.2) 式对于 n 成立. 那么 g(eaf1 ・ ・ ・ fn+1) =g(eaf1 ・ ・ ・ fn)fn+1 + (?1)i|e| eg(af1 ・ ・ ・ fnfn+1) ? (?1)i|e| eg(af1 ・ ・ ・ fn)fn+1 =g(ea)f1 ・ ・ ・ fnfn+1 + (?1)i|e| eg(af1 ・ ・ ・ fn)fn+1 ? (?1)i|e| eg(a)f1 ・ ・ ・ fnfn+1 + (?1)i|e| eg(af1 ・ ・ ・ fnfn+1) ? (?1)i|e| eg(af1 ・ ・ ・ fn)fn+1 =g(ea)f1 ・ ・ ・ fnfn+1 ? (?1)i|e| eg(a)f1 ・ ・ ・ fnfn+1 + (?1)i|e| eg(af1 ・ ・ ・ fnfn+1). 因此当 m =

1 时, (2.2) 式对于任意 n 都成立. 下面对 m 用数学归纳法. 已经证明当 m =

1 时, (2.2) 式成立. 现在假设 (2.2) 式对于 m 成立. 那么 g(e1 ・ ・ ・ em+1af1 ・ ・ ・ fn) =g(e1 ・ ・ ・ em+1a)f1 ・ ・ ・ fn + (?1)i|e1| e1g(e2 ・ ・ ・ em+1af1 ・ ・ ・ fn) ? (?1)i|e1| e1g(e2 ・ ・ ・ em+1a)f1 ・ ・ ・ fn =g(e1e2 ・ ・ ・ em+1a)f1 ・ ・ ・ fn + (?1)i|e1| e1g(e2 ・ ・ ・ em+1a)f1 ・ ・ ・ fn + (?1)i|e1・・・em+1| e1 ・ ・ ・ em+1g(af1 ・ ・ ・ fn) ? (?1)i|e1・・・em+1| e1 ・ ・ ・ em+1g(a)f1 ・ ・ ・ fn ? (?1)i|e1| e1g(e2 ・ ・ ・ em+1a)f1 ・ ・ ・ fn =g(e1e2 ・ ・ ・ em+1a)f1 ・ ・ ・ fn + (?1)i|e1・・・em+1| e1 ・ ・ ・ em+1g(af1 ・ ・ ・ fn) ? (?1)i|e1・・・em+1| e1 ・ ・ ・ em+1g(a)f1 ・ ・ ・ fn. No.

3 袁鹤: 素超代数的广义超导子和局部广义超导子

485 因此 (2.2) 式对于任意 m, n 都成立. 引理 2.3 设A是含有单位元和非平凡幂等元的素超代数, 若g是A上i阶的局部广义 超导子, 则(g, g(1)) 是A上i阶的广义超导子. 证 在引理 2.2 中, 取a=1有g(pq) = g(p)q + (?1)i|p| pg(q) ? (?1)i|p| pg(1)q, p, q ∈ H(R). 因为 I ? R, 所以 g(paq) = g((pa)q) = g(pa)q + (?1)i|pa| pa........