PDF《第14 次作业参考答案》

第14 次作业参考答案 1.

考虑一个欧拉转动 R(α, β, γ).写出其对应的 Hilbert 空 间转动的 j =

1 的3维不可约表示. 提示: 利用 Jy = (J+?J?)/(2i) 写出 Jy 的矩阵, 再利用 (Jy/? h)3 = Jy/? h. 解: R(α, β, γ) = Rz(α)Ry(β)Rz(γ) = e?i Jz ? h α e?i Jy ? h β e?i Jz ? h γ (1) 在{J2 , Jz} 表象的不可约表示的矩阵元为: D (J) m′,m =?J, m′ |R(α, β, γ)|J, m? =?J, m′ |e?i Jz ? h α e?i Jy ? h β e?i Jz ? h γ |J, m? =e?i(m′ α+mγ) ?J, m′ |e?i Jy ? h β |J, m? (2) 因为: J+|J, m? = √ (J + m + 1)(J ? m)? h|J, m + 1? (3) J?|J, m? = √ (J ? m + 1)(J + m)? h|J, m ? 1? (4) Jy = J+ ? J? 2i (5) 所以 Jy 在{J2 , Jz} 表象下的不可约表示的矩阵元为: ?J, m′ |Jy|J, m? =

1 2i (?J, m′ |J+|J, m? ? ?J, m′ |J?|J, m?) = ? h 2i (√ (J + m + 1)(J ? m)?J, m′ |J, m + 1? ? √ (J ? m + 1)(J + m)?J, m′ |J, m ? 1? ) = ? h 2i (√ (J + m + 1)(J ? m)δm′,m+1 ? √ (J ? m + 1)(J + m)δm′ , m ?

1 ) (6)

1 当J=1时,上式成为: ?1, m′ |Jy|1, m? = ? h 2i (√ (2 + m)(1 ? m)δm′,m+1 ? √ (2 ? m)(1 + m)δm′ , m ?

1 ) (7) 其中 m = ?1, 0, 1. 即,Jy 的表示为: Jy =? h ? ? ?

0 ? √

2 2i

0 √

2 2i

0 ? √

2 2i

0 √

2 2i

0 ? ? ? =? h ? ? ?

0 i √

2 0 ? i √

2 0 i √

2 0 ? i √

2 0 ? ? ? (8) 由上式可得: (Jy/? h)2 = ? ? ? 1/2

0 ?1/2

0 1

0 ?1/2

0 1/2 ? ? ? (9) (Jy/? h)3 = Jy/? h (10) 即Jy/? h 的奇数次方等于它本身 (式8),Jy/? h 的偶数次方(0 除外)等于式 9. 而(?i)2n+1 = ?(?1)n i, (?i)2n = (?1)n ,所以: e?iβJy/? h = ∞ ∑ n=0

1 n! (?iβJy/? h)n = ∞ ∑ n=0

1 (2n)! (?iβJy/? h)2n + ∞ ∑ n=0

1 (2n + 1)! (?iβJy/? h)2n+1 =1 + (Jy/? h)2 ∞ ∑ n=1 (?1)n β2n (2n)! ? (Jy/? h) ∞ ∑ n=0 (?1)n iβ2n+1 (2n + 1)! =1 ? (Jy/? h)2 + (Jy/? h)2 ∞ ∑ n=0 (?1)n β2n (2n)! ? i(Jy/? h) ∞ ∑ n=0 (?1)n β2n+1 (2n + 1)! =1 ? (Jy/? h)2 + (Jy/? h)2 cos β ? i(Jy/? h) sin β (11)

2 将式 8和式 9代入即可得 e?iβJy/? h 的表示为: e?iβJy/? h = ? ? ?

1 2 (1 + cos β) √

2 2 sin β

1 2 (1 ? cos β) ? √

2 2 sin β cos β √

2 2 sin β

1 2 (1 ? cos β) ? √

2 2 sin β

1 2 (1 + cos β) ? ? ? (12) 由式 2得: D (1) m′,m =?1, m′ |R(α, β, γ)|1, m? =?1, m′ |e?i Jz ? h α e?i Jy ? h β e?i Jz ? h γ |1, m? =e?i(m′ α+mγ) ?1, m′ |e?i Jy ? h β |1, m? (13) 结合式 12得: D(1) = ? ? ?

1 2 (1 + cos β)ei(α+γ) √

2 2 sin βeiα

1 2 (1 ? cos β)ei(α?γ) ? √

2 2 sin βeiγ cos β √

2 2 sin βe?iγ

1 2 (1 ? cos β)e?i(α?γ) ? √

2 2 sin βe?iα

1 2 (1 + cos β)e?i(α+γ) ? ? ? (14) 2. 考虑两个厄米算符 A 和B的共同本征态 |Ψ?.如果 AB + BA = 0,|Ψ? 有什么性质?可以利用宇称算符 π 和动量 p 来说明. 解: 设A、B 关于 |Ψ? 的本征值分别为 a,b,即: A|Ψ? = a|Ψ?, B|Ψ? = b|Ψ? (15) 所以: (AB + BA)|Ψ? = 2ab|Ψ? =

0 (16) 即ab=0.所以 A 和B对于其共同本征态的本征值至少有一个为零. 以π和p为例,它们两个反对易,而π的本征值为 ±1.所以除了动量 为0的情况,动量本征态一般不是宇称本征态. 3