PDF《第二章》

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第二章 函数 插值 ― Hermite 插值 为什么 Hermite 插值

2 在许多实际应用中,不仅要求函数值相等,而且要求若干阶 导数也相等,如机翼设计等.

? ( ) ( ) p x f x ≈ (i = 0, 1, …, n) ( ) ( ) i i p x f x = i i p x f x = (2) (2) ( ) ( ) i i p x f x = ( ) ( ) ( ) ( ) m m i i p x f x = 满足函数值相等且导数也相等的插值方法称为 Hermite插值 内容提要

3 ? Hermite 插值 ? 重节点差商与 Taylor 插值 ? 三点三次 Hermite 插值 ? 两点三次 Hermite 插值 我们这里只考虑对一阶导数有要求的情形.

4 重节点差商 定理:设f(x)∈ Cn[a, b], x0 , … , xn 为[a, b] 上的互异 节点,则f[x0 , … , xn ] 是其变量的连续函数 ? 差商的一个性质

1 0

1 0

0 0

0 1

0 1

0 ( ) ( ) [ , ] lim x x f x f x f x x f x x f x x x → ? = = = ?

1 0

2 0

0 0

0 0

1 2

0 1 [ , , ] lim 2! x x x x f x x x f x x x f x → → = =

0 ( )

0 0

0 1

0 1 [ , , ] lim ! i n n x x f x x f x x x f x n → = = ? ? 一般地,n 阶重节点差商定义为 重节点差商

5 Taylor插值 在Newton 插值公式中,令xi → x0 , i = 1, … , n, 则10010011 n n n i i N x f x f x x x x f x x x x x ? = ∏ ? ? ( )

0 0

0 0

0 ( ) ! n n f x f x f x x x x x n ? ( 1)

1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n ξ + + = ? + 余项 ? Taylor 插值就是在一个节点 x0 上的 n 次Hermite 插值 什么是 Taylor 插值

6 Hermite 插值 一般来说,给定 m+1 个插值条件,就可以构造出一 个m次Hermite 插值多项式 ? 两个典型的 Hermite 插值 ? 三点三次 Hermite 插值 ? 两点三次 Hermite 插值 插值节点:x0 , x1 , x2 插值条件:p(xi) = f(xi),i = 0, 1, 2,p'(x1) = f'(x1) 插值节点:x0 , x1 插值条件:p(xi) = f(xi),p'(xi) = f'(xi) ,i = 0,

1 7 三点三次Hermite 插值 插值节点:x0 , x1 , x2 插值条件:p(xi) = f(xi),i = 0, 1, 2,p'(x1) = f'(x1) 三点三次 Hermite 插值 可设

0 0

0 1

1 0

0 1

0 1

2 2 p x f x f x x x x f x x x A x x x x x x x x x x ? ? ? + ? + ? = + ? 将p'(x1) = f'(x1) 代入可得

1 0

1 0

1 2

1 0

1 0

1 2 ( )( ) f x f x x f x x x x x A x x x x ? ? ? = ? ?

8 三点三次Hermite 插值 由于 x0 , x1 , x2 是R(x) 的零点,且x1 是二重零点,故可设

2 0

1 2 ) ( ( ) ) ( ( ) K x x x x x x x R x f x p x ? 与Lagrange 插值余项公式的推导过程类似,可得

4 2

0 1

2 ( ) ( ) ( ) 4! x f R x x x x x x x ξ ? ? ? = 其中 ξx 位于 由x0 , x1 , x2 和x所界定的区间 内?余项公式

9 插值举例 例:函数 f(x) = x3/2,插值条件如下 试给出三次Hermite插值多项式,并写出余项 xi ?(xi) 一阶差商 二阶差商 1/4

1 9/4 1/8

1 27/8 7/6 19/10 11/30 f(1/4) = 1/8,f(1) = 1,f(9/4) = 27/8,f'(1) = 3/2 解:作差商表 将p'(1) = f'(1) = 3/2 代入可得 A = -14/225

1 7

1 11

1 1)

8 6

4 30

4 1

9 ( )( 1)( )

4 4 p x x x x A x x x + ? ? ?

10 插值举例 (4)

2 5/2

2 ( )

1 9 ( )( 1) ( ) 4!

4 4

9 1

9 ( )( 1) ( ) 4!

16 4

4 R x f x p x f x x x x x x ξ ξ ? = ? = ? ? ? = ? ? ? *

3 2

14 263

233 1 ( )

225 450

450 25 p x x x x = ? + + ? 余项

11 两点三次Hermite 插值 插值节点:x0 , x1 插值条件:p(xi) = f(xi) = yi,p'(xi) = f'(xi) = mi,i = 0,

1 两点三次 Hermite 插值 仿照 Lagrange 多项式的思想,设300110011 p x H x a x a x b x b x α α β β = + + + ? 其中 均为

3 次多项式,且满足

0 1

0 1 x x x α α β β 0, ( ) 0, ( ) j i ji j i j i j i ji x x x x α δ α β β δ = = = = ' ' i, j= 0,