PDF《数学杂志》

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2018 ) No.

6 数学杂志J. of Math. (PRC) 几个关于极坐标的 Bonnesen 型不等式 郑高峰, 周阳(华中师范大学数学与统计学学院, 湖北 武汉 430079) 摘要: 本文研究了平面上 C2 闭凸曲线的极坐标形式 {O;

ρ(θ)}. 运用 Bonnesen 不等式的推 广形式 [1,2] , 得到关于 ρ 及ρθ 的一些积分形式的 Bonnesen 型不等式, 使得我们很容易得到等周不等 式取等时的条件. 关键词: 等周不等式;

闭凸曲线;

极坐标;

Bonnesen 不等式 MR(2010) 主题分类号: 53A04 中图分类号: O186.11 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2018)06-1119-04

1 引言 经典等周不等式: 对平面内任一条简单闭曲线 γ, 设其周长为 L, 所围区域面积为 A, 有L2 ? 4πA ≥ 0, (1.1) 等号成立当且仅当 γ 是一个圆周.

1882 年, Edler 第一个给出严格的数学证明, 此后相继出现多种不同证明方法 [3] , 而在这 些证明中, 用到极坐标的情况非常少, 不等式中带有极坐标形式的基本没有. 因此给出一些带 有极坐标形式的等周型不等式是必要的. 并且从文中定理 2.4, 定理 2.5 中带有极坐标的等周 型不等式来看, 当L2 ? 4πA =

0 时, 可以很直观的发现该曲线为圆周.

2 主要结果及其证明 引理 2.1 [4] 对任意一条简单闭曲线 γ, 存在唯一一个包含 γ 的最小圆环. 并且至少存 在四点 P1, P2, P3, P4, 其中 P1, P3 在该圆环的内圆周上, P2, P4 在该圆环的外圆周上, 使得 P1, P2, P3, P4 依次排列在曲线 γ 上. 注Chouikha [5] 对Jordan 多项式的情形作出了证明, 在文献 [4] 中推广到一般简单闭 曲线. 接下来, 如无特别说明, 我们一直假设 γ 是一条 C2 可求长的正定向闭凸曲线, 设其周长 为L, 所围区域面积为 A. 由引理 2.1, 存在唯一一个包含 γ 的最小圆环, 记其中心为 O, 其内 外圆周的半径分别为 rin(O), rout(O). 以O为坐标原点, 任选一方向为极轴方向, 建立极坐标 系{O;

ρ(θ)}. 引理 2.2 [2] 如果 O 是包含闭凸曲线 γ 的最小圆环的中心, 则γ的Bonnesen 函数 g(r) = Lr ? A ? πr2 ≥ 0, rin(O) ≤ r ≤ rout(O). (2.1) ? 收稿日期: 2016-11-22 接收日期: 2017-11-17 基金项目: 国家自然科学基金资助 (11171126;

11571131). 作者简介: 郑高峰 (1976C), 男, 湖北黄冈, 教授, 主要研究方向: 椭圆抛物型偏微分方程, 几何发展方程.

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38 注Bonnesen [1] 在1921 年提出了 Bonnesen 不等式, 由文献 [2] 中(1.7) 式可以得到此 引理. 定理 2.3 若ρ(θ) 是按上述定义在 C2 闭凸曲线 γ 上的极坐标, 则有 L ≥ 2π

0 ρ dθ, √ 4πA ≥ 2π

0 ρ dθ. (2.2) 并且两个不等式取等皆当且仅当 γ 为圆周. 证L=2π

0 ρ2 + ρ2 θ dθ ≥ 2π

0 ρ dθ. (2.3) 由于 2A = 2π

0 ρ2 dθ, (2.4) 再运用 Cauchy 不等式 2π

0 ρ dθ ≤ 2π

0 ρ2 dθ 2π

0 1 dθ = √ 4πA. (2.5) 定理 2.4 若ρ(θ) 是按上述定义在 C2 闭凸曲线 γ 上的极坐标, 则有 L2 ? 4πA ≥ L 2π

0 ( ρ2 + ρ2 θ ? ρ) dθ, (2.6) 并且该不等式取等当且仅当 γ 为圆周. 证 由于 {O;

ρ(θ)} 是以包含 γ 的最小圆环的中心为原点, 故ρ([0, 2π]) = [rin(O), rout(O)]. (2.7) 因此由引理 2.2, g(ρ) = Lρ ? A ? πρ2 ≥ 0. (2.8) 关于 θ 在[0, 2π] 上积分, 再利用 L = 2π

0 ρ2 + ρ2 θ dθ 和2A = 2π

0 ρ2 dθ 得到 L 2π

0 ρ dθ ? 4πA ≥ 0. (2.9) 由此可得 (2.6) 式. 若γ为圆周, 则ρ(θ) ≡ 0, (2.6) 式两边恒为 0, 故取等. 反过来, 若(2.6) 式取等, 则(2.9) 式取等, 由(2.8) 式左边函数的连续性可知 g(ρ) ≡ 0, ?ρ ∈ [rin(O), rout(O)], 因此 rin(O) = rout(O), 故γ为圆周. 定理 2.5 若ρ(θ) 是按上述定义在 C2 闭凸曲线 γ 上的极坐标, 则有 L2 ? 4πA ≥ π m 2π