PDF《2018 年全国 1 卷理科数学真题答案及解析》

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1 3 x C y ? ? ,O为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F的直线与C 的两条渐近线 的交点分别为 M , N ,若OMN ? 是直角三角形,则MN ? ( ) A.

3 2 B.3 C.

2 3 D.

4 【答案】B 【 解析】由22:13xCy??得??2,0 F , 两条渐近线方程分别为:33yx??,故30 MOF NOF ? ? ? ? ? ,

60 90 MON ? ? ? ? ? .由双曲线对称性,不妨设

90 OMN ? ? ? ,则3MN OM ? .又在 Rt MOF ? 中,

30 MOF ? ? ? ,

2 OF ? ,故3OM ? ,

3 MN ? . 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,重点考查双曲线相关几何性质,包括渐近线方程, 对称性,双曲线方程等,重点要明确直角三角形中哪个角为直角,这是本题关键.本题属于中等题, 也是高考热点问题,希望引起重视. 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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15 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面? 所成的角都相等,则? 截此正方体所得截面 面积的最大值为( ) A.

3 3

4 B.

2 3

3 C.

3 2

4 D.

3 2 【答案】A 【解析】 设正方体 ABCD A B C D ? ? ? ? ? 中, 三棱锥 A AB D ? ? ? ? 是正三棱锥, 易知直线 A B ? ?、 直线 A D ? ?、 直线 A A ? 与平面 AB D ? ? 所成角相等,故平面? 与平面 AB D ? ? 平行.如图所示,设平面? 与正方体各 边交于点 L、 H 、Q、 P 、 N 、 M .所求截面面积最大值即求六边形 LHQPNM 面积的最大值.设 边长 LB 长度为 ? ?

0 1 a a ? ? ,则边长 LA长度为1 a ? .通过平行关系可知直线 LM 、直线 PQ 与直 线BD??平行, 直线 LH 、直线 PN 与直线 AB?平行, 直线 HQ 、直线 MN 与直线 AD? 平行,故这六 条直线与与之相交的正方体边长所成角皆为45o , 则??21LM HQ PN a ? ? ? ? ,

2 LH PQ MN a ? ? ? .且因为平行关系可知直线 LM 与直线 LH 的夹角就是直线 B D ? ? 与直线 AB?夹角的补角,即为120o .同理,六边形其它内角也是120o .如下图 所示.则该六边形面积为 LHQ QPN NML LQN S S S S ? ? ? ? ? ? ? .易知三角形 LQN 为正三角形,边长为

2 2

2 2 a a ? ? ,面积为 ? ?

2 3

2 2

2 4 a a ? ? ,则计算可得 ? ? ? ? ? ?

2 2

2 3

3 3

3 2

2 2

3 2

4 2 LHQ QPN NML LQN S S S S a a a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 易知当12a?时面积最大,为334.【点评】本题考查线面夹角的性质以及对截面图形的想象能力.考查推理论证能力,运算求解能力, 空间思维能力,考查函数与方程思想,化归转化思想,数形结合思想,属于偏难题型,需要有比较 好的空间想象力. 厦门新东方学校―高中数学个性化教研组

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二、填空题:本题共

4 小题,每小题

5 分,共20 分. 13.若x,y满足约束条件

2 2

0 1

0 0 x y x y y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,则32zxy??的最大值为______. 【答案】

6 【解析】求出3 条直线的交点 ? ? 4,

3 A ? ? , ? ? 2,0 B , ? ? 1,0 C ? ,分别带进去进行求解,得到所求 的z的最大值为

6 . 【点评】本题重点考察线性规划的性质,利用函数图像解决线性规划最优解问题,属于中等题. 14.记nS为数列? ? n a 的前 n 项和,若21nnSa??,则

6 S ? . 【答案】

63 ? 【解析】由题意得

2 1 n n S a ? ? ,

1 1

2 1,( 2, ) n n S a n n N? ? ? ? ? ? ? 两式相减得

1 1

2 2 n n n n S S a a ? ? ? ? ? ,即122nnnaaa???,12nnaa??,12nnaa??又1111,21aSaa???得11a??则数列? ? n a 是以

1 ? 为首项,以2为公比的等比数列 1(1 ) 1(1

2 )

1 2

1 1

2 n n n n a q S q ? ? ? ? ? ? ? ? ?

6 63 S ? ? 【点评】利用递推关系与等比数列的通向,等比数列的前 n 项和公式即可得出. 15.从2位女生, 4名男生中选3 人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种. (用数字作答) 【答案】16 【解析】从6人中任取