PDF《概率交汇试题的归类解析》

递减,又因为 x < 1,h(x) < 0;

x > 1,h(x) > 0,h(e) =

1 e 且x→0时,h(x) →- ∞ ;

x →+ ∞ 时,h(x) → 0,(如图3),故a≤0或a=1e时,有且只有

1 个零点;

当0

1 2 ,故选 B.

4 概率与复数交汇 例4(2015 年陕西卷) 设复数 z = (x - 1) + yi x,y ∈ R ( ) ,若|z|≤1,则y≥x的概率为( ). A.

3 4 +

1 2π B.

1 4 -

1 2π C.

1 2 -

1 π D.

1 2 +

1 π 图3解析 因为 | z | = (x - 1)2 + y2 ≤ 1, 即(x - 1)2 + y2 ≤ 1.其表示的是以(1, 0) 为圆心,以1为半径的圆及 其内部,如图

3 所示.当|z|≤1时,y ≥ x 表示的是图中阴影部 分的区域,其面积为 S′ =

1 4 π *

12 -

1 2 *

1 *

1 = π -

2 4 .又圆的面积 S = π,根据几何概 型公式知所求概率 P = S′ S = π -

2 4 π =

1 4 -

1 2π ,故选 B.

5 概率与线性规划交汇 例5若在区间 - 1,1 ( ) 内任取实数 a, 在区间 0,1 ( ) 内任取实数 b,则直线 ax - by =

0 与圆 x -

1 ( )

2 + y -

2 ( )

2 =

1 相交的概率为( ). A.

3 8 B.

5 16 C.

5 8 D.

3 16 解析 由直线与圆相交得 a - 2b a2 + b2 < 1,所以 4ab - 3b2 > 0,又b∈0,1 ( ) ,所以 4a - 3b > 0,点a,b ( ) 在图4如图4所示的矩形区域ABCD 内,直线4a - 3b =

0 与CD 交于 E

3 4 ,1 ? è ? ? ? ÷ , 直线与 圆相交时点 a,b ( ) 落在梯形 OBCE 区域内, 由几何概型 知直线与圆相交的概率为: S梯形OBCE S梯形ABCD =

1 2

1 +

1 4 ? è ? ? ? ÷ *

1 1 *

2 =

5 16 .故答案为 D. 例6设-1≤b≤1, -

1 ≤ c ≤ 1,则关于 x 的 方程 x2 + bx + c =

0 有实根的概率是 . 图5解析 此题是线性规 划与几何概型结合的题目. 画出可行域-1≤b≤1, -

1 ≤ c ≤ 1, b2 ≥ 4c, ì ? í ? ? ? ? 如图

5 所示: 先求出满足条件的阴 影部分的面积 S1 = ∫

1 -1 b2

4 db +

2 =

13 6 ,总面积为 S = 4, 所以 P = S1 S =

13 24 .

6 概率与圆锥曲线交汇 例7已知椭圆 x2

4 + y2 =

1 的焦点为 F1 ,F2 ,在长 轴A1 A2 上任取一点 M,过M作垂直于 A1 A2 的直线交椭 圆于 P,则使得PF1 → ・PF2 → <

0 的M点的概率为( ). A.

2 3 B.

2 6

3 C.

6 3 D.

1 2 解析 设点 M 的坐标为 x,0 ( ) , 点P的坐标为 x,y ( ) , 则有x∈[-2,2], 由题知两焦点为F1 -

3 ,0 ( ) ,F2

3 ,0 ( ) ,所以PF1 → ・PF2 → = x2 -

3 + y2 = x2 -

3 +

1 - x2

4 = 3x2

4 -

2 < 0,解得 -

2 6

3 < x <

2 6

3 , 即满足 条件的点M的所在区间的长度为463,又A1 A2 = 4,所以 P =

4 6

3 4 =

6 3 .

7 概率与立体几何交汇 例8 甲、乙、丙三人约定在8 时到9 时之间在某地 碰面,如果三人都不违背约定,求他们按甲、乙、丙次序

1 5 中学数学杂志

2016 年第

1 期ZHONGXUESHUXUEZAZHI 先后到达的概率. 解析 本题为三人会面问题,可引进三维几何概 型用体积比来解. 设甲、乙、丙三人到达约定地点的时刻分别为

8 时x分,8 时y分,8 时z分,则事件"按甲、乙、丙次序先后到 达" 发生满足的条件是

0 ≤ x < y < z ≤ 60. 图6建立如图

6 所示的空间直角 坐标系,则点(x,y,z) 落在正方体 ABCD―OB1C1D1(边长为60) 内, 事件"按甲、乙、丙次序先后到达" 所对应的点应落在三棱锥O―BB1C 区域内部,故所求的概 率为 P = VO―BB1C VABCD―OB1C1D1 =

1 6 .

8 概率与定积分交汇 例9已知 a > 0,2a2 -

2 < b < 0,则关于 x 的函 数f(x) =

1 3 ax3 +

1 2 bx2 + x +

1 在区间 1,2 ( ) 上有极大 值,但没有极小值的概率等于 . 图7解析 由已知条件可 得f′(x) = ax2 + bx +