PDF《量子力学》

Tqd c13 e?c2{T d 其中含有两个待定的实验参数 (Wein 因此获得

1911 年Nobel 奖).

1900 年前后,Rayleigh 和Jeans 根据经典电动力学和经典统计力 学的能量均分定理也曾提出了一个黑体辐射公式: up;

Tqd 8kT c3

2 d 式中 k 1:38 ? 10?23J/K 是Boltzmann 常数. 与Wein 公式不同, 此式是基于物理学第一原理的推论.

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70 实验观测与理论解释之间的比较:

1 Wein 公式在高频区与实验曲线符合得很好,但其在低频区 与观测结果有明显偏离.

2 Rayleigh-Jeans 公式在低频区符合实验,但在高频极限下是发 散的(紫外灾难).

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70 Planck 公式闪亮登场: 对于黑体辐射问题的解释是经典物理的重大困难之一,曾有 人将其形容为笼罩在经典物理学天空中的一朵乌云.

1900 年,Planck 幸运地同时获知了 Wein 的两参数半经验公 式: up;

Tqd c13 e?c2{T d 和Rayleigh-Jeans 黑体辐射公式: up;

Tqd 8kT c3

2 d Planck 巧妙地把 Wein 公式和 Rayleigh-Jeans 公式缝合在一起,提 出了一个在全波段都与实验结果精确符合的黑体辐射公式 (1918 年Nobel 奖): up;

Tqd 8h c3 3d e h{kT ?

1 20 /

70 点评:

1 Planck 公式中引人注目地出现了一个新常数,Planck 常数, h 6:626 ? 10?34 J ¨ s

2 在高频段,h kT 1, Planck 公式退化为 Wein 公式, up;

Tq ˇ ˇ ˇ ˇ h{kT

1 ? 8h c3

3 e?h{kT

3 在低频段,h kT ! 1, Planck 公式退化为 Rayleigh-Jeans 公式, up;

Tq ˇ ˇ ˇ ˇ h{kT!1 ? 8kT c3

2 21 /

70 Planck 公式不仅正确地表达了黑体辐射实验曲线,它也给出了正 确的黑体辐射能量密度: upTq ?

8 0 up;

Tqd 8h c3 ?

8 0

3 eh{kT ?

1 d T4 8hk4 c3h4 ?

8 0 x3dx ex ?

1 即: upTq T4 这个结论称为 Stefan-Boltzmann 公式,很有名. 虽然 Boltzmann 很早就基于经典热力学分析得出了 upTq 对于黑体温度的四次方 依赖关系,但经典物理学不能从理论上计算系数 . 按照 Planck 公式, 8hk4 c3h4 ?

8 0 x3dx ex ?

1 22 /

70 上式中的积分可以精确算出: ?

8 0 x3dx ex ?

1 ?

8 0 dx x3 e?x p1 ? e?xq ?

8 0 dx x3

8 ? n

1 e?nx

8 ? n

1 1 n4 ?

8 0 dy y3 e?y

8 ? n

1 1 n4 Γp4q

4 15 于是1, ? 7:5662 ? 10?16 J{m3 K4 这一理论计算值高度符合于观测值.

1 与这里不同,热力学教材中常称: r

1 4 c ? 5:67 ? 10?8 W{m2 K4 为Stefan-Boltamann 常数.

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70 量子概念的诞生: Planck 公式能在全波段与观测结果如此惊人地符合,很难说它只 是一个经验公式. Planck 发现,如果在经典物理学之外引入下述假设,就可以从理 论上导出他的黑体辐射公式 2: 对于具有确定频率 的电磁辐射而言,物体只是以 h 为单位吸收或发射它,h 是一个普适常数, h 6:626 ? 10?34 Js. 换言之,物体吸收或发射电磁辐射只能以整数个量子的方式进 行. 每一个量子的能量为 E h.

2 参考林宗涵,热力学与统计物理学,北京大学物理学丛书,北京大学出版 社,2007 年1月第

1 版.

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70 说明: 按照经典电动力学可以计算空腔内频率介于 ù ` d 的电磁 振动的数密度. 结论是: Nd

82 c3 d 式中已计入了电磁波有两个独立的偏振模式的事实. 现设空腔内 电磁振子与空腔内壁达到了温度为 T 的热平衡,振子的能量分布 服从玻尔兹曼分布律: pEq

9 e?E{kT

1 若电磁振子的能量是连续分布的,0 ? E ? 8,则其平均能 量为: ? E ?8

0 dE E e?E{kT ?8