PDF《Klein Gordon场》

Klein Gordon场Jake 量子力学补习班(3) 集智俱乐部 今日内容 ? 量子场论如何工作? ? 从多体弹簧谐振子到Klein Gordon场?多体弹簧谐振子的Lagrangian, Hamiltonian ? 从多粒子到场 ? Klein Gordon方程 ? 从位置空间到动量空间 ? 正则量子化 ? Klein Gordon场的量子化 ? 产生湮灭算符 ? "虚粒子"的涌现 ? 从量子场论的观点谈涌现 ? 路径积分量子化 ? Fayenman的路径积分量子化方法 ? 粒子传播与转移概率幅 ? 费曼图 ? S矩阵 ? 复数时间中的路径积分 量子场论如何工作? 场: Ф(x,t) 制约场Ф的 方程 场的 Lagrangian 场的 Hamiltonian 量子化 正则量子化 路径积分量 子化 粒子解释 Klein Gordon实标量场 还是从弹簧谐振子谈起 ? 考虑左图的弹簧谐振子系统 ? 尝试写出该系统的 Lagrangian x1 x2 假设势能可以写成如下形式: 从多粒子过渡到场 x1 x2 相应的拉格朗日过渡成 欧拉拉格朗日方程与Klein Gordon方程 ? 由最小作用量原理 ? 可以得到欧拉拉格朗日方程 Klein Gordon方程 Klein Gordon场的动量与Hamiltonian ? 动量 ? Hamiltonian 场的共轭动量 转换到动量空间 ? 动量空间:k空间 ? 在k空间中的Hamiltonian 谐振子的Hamiltonian 考虑到相对论的能量动量关系就是 我们干了些什么? ? 在k空间中,我们将这一群弹簧振子解耦了 ? 因此,在k空间中,我们就有了一堆互不相关的谐振子 x1 x2 Fourier transformation k1 k2 正则量子化Klein Gordon场 什么是正则量子化 ? 我们在谐振子的量子化过程中干了什么? ? 将动量p和位置x转化成相应的算符P和X,并赋予如下的对 易关系:[X,P]=ih ? 将能量E转化成相应的Hamilton算符 ? 求解薛定谔方程 ? 可以利用产生湮灭算符简化计算――这不仅仅是简化,还 能带来明确的物理意义 定义k空间中的产生湮灭算符 ? 针对每个k,都是独立的谐振子,定义: ? 整个场的Hamiltonian ? 这样会出现一系列能量本征值和本征态|0>,|1>,… ? 任意一个态都可以写成 对易关系: 求解Klein Gordon方程 ? 可以验证,Klein Gordon方程的解可以写成如下的形 式: ? 因此,Ф是一个算符,而不再是波函数 ? Ф可以近似看成是在场点x处的产生算符 如何从场解读出粒子 ? a+的作用是在k处产生出一个粒子出来,该粒子具备动 量k,和能量wk,并且满足相对论能量-动量关系: ? n个粒子的状态 ? 可以定义粒子数算符、总能量算符、总动量算符,作 用到粒子态 上面,测量得到这些物理量 ? 粒子的位置波函数为: 解读Klein Gordon场的两种版本 ? 我们的做法: ? 从n个相互耦合的谐振子开始 ? 假设n趋于无穷大,我们得到了Klein Gordon场?一旦有了量子化的Klein Gordon场,早先的谐振子不再是我们研究的对象了.

? 我们研究的重点变成了该场上面的虚粒子 ? 在标准的场论中 ? 给出场的Lagrangian和Hamiltonian ? 量子化该场,用产生湮灭算符描述 ? 粒子解释?产生粒子 ? 在凝聚态物理 ? 固体中的每个原子可以看作是谐振子,这些谐振子可以用量子力学描述 ? 无穷多个谐振子构成了Klein Gordon场,该场显然是量子化的 ? 二次量子化该场,得到了虚粒子 ? 虚粒子:声子 波粒二相性、涌现与量子场论 路径积分量子化Klein Gordon场 从双缝实验谈起 复数概率的马尔科夫准则: 《费曼物理学讲义III》 路径积分 任意状态的概率幅: 转移概率幅的具体表达 由薛定鄂方程: 那么,到T时刻,粒子在状态q'转移的概率幅: 又因为T时间步转移又相当于N次转移的乘积 能量可以拆成动能与势能:H=M(P)+V(Q) 插入完全基 插入位置特征向量组完全基: 插入动量特征向量组完全基: 路径积分简洁而漂亮的公式 文字叙述就是: 从任何初态q转移到任意末态q'的概率副为: 沿所有路径对exp(iS)的积分,其中S为依赖于被积分路径的 经典作用量 从此经典拉格朗日力学与量子力学之间的联系建立起来了 经典的最小作用量原理可以理解为作用量较大的路径的相位 iS相互抵消了,只剩下作用量最小的路径,它的概率幅较大. 传播子 ? 下面我们关注一种特定的概率转移振幅 它表示从真空态到真空态的量子概率幅,即在真空中 粒子在某处产生又在某处湮灭掉的概率幅 T为时间顺序算符,即要求x0>y0 Klein Gordon场的路径积分量子化 ? 将Klein Gordon场的Lagrangian代入路径积分 ? 得到 ? 利用高斯积分的性质,这个积分可以积出来 为费曼传播子 微扰理论与费曼图 ? 源激发 ? φ4理论 真空激发项 散射实验与S矩阵 为N点传播子 Wick旋转与统计物理 ? 在其中,Z实际上等于: ? 之所以选取字母Z是因为为了与统计物理中的配分函 数相一致,作wick旋转:t?-it,则Z就转变为配分函 数?这个转换的几点对应: Minkowski空间?欧几里得时空 总结 ? 实现量子场论的两条路 ? 正则量子化 ? 路径积分量子化 ? 关于波粒二象性与涌现 ? "虚粒子"就是实粒子 ? 可以计算虚粒子的各种物理量 ? Wick旋转与虚时间