PDF《Haldane大叔的猜想 | 诺奖深度解析 （之三）》

Haldane大叔的猜想 | 诺奖深度解析 (之三) (系列文章之三) Haldane大叔的猜想 孟子杨(物理所)刘正鑫(人民大学) 今年的诺贝尔物理学奖授予了三位理论物理学家,分别是美国华盛顿大学的 David J.

Thouless, 普林斯顿大学的 F. Duncan M. Haldane和布朗大学的 J. Michael Kosterlitz,以表彰他们在凝聚态中 拓扑相变和拓扑相方面的杰出贡献.作为在这一领域工作的晚辈研究者,我们衷心地为几位前辈的获 奖而感到高兴,同时也深受鼓舞.Haldane获奖的主要原因是以他命名的 Haldane conjecture和后 来提出的反常量子霍尔理论模型(后者对拓扑绝缘体的发现和整数反常霍尔材料的制备起了重要的作 用).这篇小文,就从这位和蔼可亲的 Haldane大叔和他著名的猜想讲起. 让我们一起回到上个世纪八十年代.对于凝聚态物理,那是一个激动人心的时代,一系列重要的 故事都发生在这个年代:高温超导体和量子霍尔效应相继被发现 (前者目前在理论上还没有完全定 论,但是后者就是拓扑物质形态的代表).两个实验上的突破激励着理论上的重大变革:统治了凝聚 态物理学几十年 Landau理论,包括费米液体理论和基于对称自发破缺的连续相变理论受到挑战,再 也招架不住实验上革命性的新发现的连续攻势.新的理论应运而生,其中包括拓扑相和拓扑序这些崭 新的概念.Haldane大叔在一维反铁磁自旋链中的著名的工作就是在这个时代完成的. 1983年Haldane大叔做出了一个猜想:整数和半整数具有反铁磁海森堡相互作用的量子自旋 链, 它们的基态都没有长程反铁磁序(与之相对的是,经典反铁磁自旋链在零温下具有反铁磁长程序), 但其磁激发谱有很大的不同,前者的磁激发谱有能隙,而后者没有Haldane [1983a,b]. 原创 2016-10-12 孟子杨、刘正鑫 中科院物理所 图1: S=1 的AKLT 模型基态.每个S=1 的自旋(图中的椭圆)可以拆成两个S=1/2 (图中的黑点),两个S=1/2 又可以组合成一个自旋单态.系统在体内是自旋单态的直积,在左右边界上各有一个S=1/2 的边界态. Haldane这个猜想为什么如此有名呢?原因有三.其一,80年代以前,人们还沉浸在 Landau的 对称破缺理论中,还是习惯于从对称性破缺和长程序来区分物质的不同形态或者相,而Haldane的猜 想犹如一声惊雷,让人们开始关注没有对称破缺的物质形态,里面有一个很大的未开垦的王国,即拓 扑物质形态,或拓扑相;

其二,整数和半整数自旋的区别完全是量子力学的效应,是量子的威力在宏 观的强关联多体系统中的体现,没有经典的物理对应;

其三,Haldane预言的量子相在实验上被实 现,其猜想的正确性也被大量研究所证实. Haldane还研究了海森堡相互作用中存在各向异性的情况,阐明能隙的存在是很稳定的,不受 XXZ类型或单离子或其他类型的各项异性项的影响.由于整数自旋(特别是S=1)的反铁磁链中的能 隙不受微扰的影响,这个稳定存在的有能隙的量子态构成一个非平庸的量子相(其基态没有对称破 缺,但因为存在边界态,而与平庸的有能隙的直积态有本质区别),后来被称为 Haldane phase. Haldane有着过人的计算能力和良好的物理直觉.其猜想是从准经典的角度,在磁有序的经典基 态上考虑量子涨落,并在大的时间和空间尺度下取连续极限,通过场论的分析而得到的.由于其理论 相对比较晦涩,这些我们放到本文后半部分讲解,这里先说说 Haldane猜想对后来研究产生的影响. 在Haldane大叔提出 conjecture之后不久,Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki四位大佬提出了后 来以其名字命名的 AKLT模型Affleck et al. [1987](其基态可以严格的得到,如图1所示),简洁而 漂亮阐述了S=1的自旋反铁磁链的基态,即Haldane phase,并证明了其(1)没有反铁磁长程序;