PDF《船舶横摇运动实时在线预报方法》

1 船舶横摇运动时序的相空间重构 1.

1 相空间重构 一个混沌系统产生的轨迹经过一定周期的变化 后最终会做一种有规律的运动, 产生一种有规律有 形的运动轨迹( 混沌吸引子) , 这种轨迹经过类似拉 伸和折叠后转化成与时间相关的序列, 此时出现了 混沌的复杂特征 [8 ] .对于混沌时间序列 x( t) , t = 1, 2, …, n, Packard 和Takens 提出了利用延迟坐标法 来重构相空间, 即X( t) = { x( t) , x( t + τ) , …, x[ t + ( m - 1) τ] } T . ( 1) 式中: m 为嵌入维数;

τ 为延迟时间;

t = 1, 2, …, M;

M = n - ( m - 1) τ. Takens[8 ] 定理证明如果嵌入维数 m≥2D + 1, ( D 为吸引子维数) , 就可以重构出一个与原始状态 空间是微分同胚的相空间. 1.

2 延迟时间 τ 的确定 延迟时间 τ 的选取比较复杂, 如果 τ 太小, 相空 间轨迹会向同一位置挤压, 产生冗余误差;

如果 τ 太大, 会导致某一时刻与后一时刻的动力学形态变化 剧烈, 使得对象表现的很复杂, 动力系统信号失真, 产生不相关误差 [9 ] . 对于离散混沌时间序列 x( t) , t = 1, 2, …, n, 确定τ的方法主要有自相关法、 平均移位法、 去偏复自 相关法、 互信息法等.由于互信息函数度量了两个 变量的总体依赖性, 在延迟时间的选取上明显优于 自相关函数法, 适用于非线性问题.所以采用互信 息法计算延时 τ.互信息函数为 I( τ) = ∑ n t =

1 P( x( t) , x( t + τ) ) log P( x( t) , x( t + τ) ) P( x( t) ) P( x( t + τ [ ] ) ) , ( 2) 其中, P( ・) 为概率密度.延迟时间 τ 取互信息函 数第一次达到极小值点时对应的时间. 1.

3 嵌入维数 m 的确定 如果重构相空间维数足够大, 就可以刻画出系 统的奇异吸引子, 揭示出传统方法无法展示的系统 运动规律, 所以重构相空间时通常选取 m≥2D + 1, 由Grassberger 和Procaccia 提出的饱和关联维数( G - P) 算法是研究中常用的方法.步骤如下: 1) 对于混沌时间序列 x( t) , t = 1, 2, …, n, 给定 较小的嵌入维数 m, 按照延迟坐标法得到式( 1) 的 相空间. 2) 计算关联积分在给定正数 r 下的值, 即Cn ( r) = lim n→∞

1 M∑ M i, j =

1 θ( r - ‖X( i) - X( j)3) 式中, ‖X( i) - X( j) ‖表示两个相点 X( i) 和X( j) 之间的距离, 采用∞ 范数来表示, θ( ・) 为Heaviside 单位函数, 即θ( x) = 0, x≤0, 1, x >

0 { . ( 4) 3) 选取合适的 r, 使得关联维数 D 能够描述奇 异吸引子的自相似结构, 并与 Cn ( r) 满足对数线性 关系, 即Dm = logCn ( r) logr . ( 5) 4) 增加嵌入维数 m, 重复计算式( 3) 和式( 5) , 直到相应的关联维数估计值 D 达到饱和为止, 这个 饱和值即为吸引子的关联维数, 此时的 m 即为混沌 时间序列的嵌入维数.该方法不仅可以用来求出嵌 入维数, 也可以对时间序列进行混沌特性判定.

2 在线最小二乘支持向量机 2.

1 最小二乘支持向量机 对于输入样本集{ ( xi , yi ) } l i =

1 , xi ∈Rn , yi ∈R, 最小二乘支持向量机利用非线性映射 φ( x) 将输入 数据映射到一个高维特征空间, 使输入空间中的非

3 8 第10 期刘胜等: 船舶横摇运动实时在线预报方法 线性函数估计问题转化为高维特征空间中的线性函 数估计问题, 回归函数的形式为 y( x) = wT φ( x) + b. ( 6) 根据结构风险最小化原则, 并使样本拟合误差 最小化, 回归问题变为约束优化问题, 即min w, e J( w, e) =