PDF《2018 学年第一学期期末教学质量调测 高三数学参考答案》

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2018 学年第一学期期末教学质量调测 高三数学参考答案

一、选择题:本大题共

10 小题,每小题

4 分,满分

40 分.

题号

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10 答案 A B D C B A C D D B 10.解:因为 ,所以 ,即.因为 ,所以 ,故 是以 为首项,以 为公比的等比数列. 从而 ,即,一方面, . 下面证明: . 处理一:当时,所以 . 所以 , 故.处理二:又,所以 .

二、填空题:本大题共

7 小题,多空题每小题

6 分,单空题每小题

4 分,满分

36 分. 11. , 12. , 13. , 14. 15. 16. 17. ;

,或.第17 题提示:因为 恰有三个零点,所以 ,此时 在区间 上必有一 个负数零点. (1)当 ,即 时, 在区间 上有

2 个零点,

2 所以 或 解得 . (2)当 ,即 时 在区间 上有

1 个零点, 所以 ,解得 . 综上: ,或.

三、解答题:本大题共

5 小题,满分

74 分. 18. (本题满分

14 分) 解:(Ⅰ) 当时,由三角函数的定义可知 . ……2 分 所以 . ……6 分(Ⅱ)由三角函数的定义可知, , . 于是 . ……10 分 因为 ,所以 在区间 上递增,在区间 上递减, 所以 ,故 的最小值为 . ……14 分19. (本题满分

15 分) 解: (Ⅰ)因为 为棱 的中点,所以 . 又因为 是矩形,所以 , 由得.同理: . 由得,所以 . ……3 分 又因为 ,所以 平面 . ……5 分而平面 ,所以平面 平面 . ……7 分(Ⅱ)方法 1:由(Ⅰ)知 平面 ,所以平面 平面 于.由(Ⅰ)知 ,而 , 所以 是等边三角形.取 的中点 ,则.所以 平面 . ……10 分过作于,连接 , 则 就是二面角 的平面角. ……12 分在中, ,

3 所以 . 在中, ,所以 ,故.所以二面角 的余弦值为 . ……15 分 方法 2:由(Ⅰ)知 平面 ,所以平面 平面 于.建立如图所示的空间直角坐标系 , 则,,

.……9 分 所以 , . 由(Ⅰ)知 ,而 , 所以 是等边三角形,所以 , 故,……10 分 设平面 的一个法向量为 , 则即可取 . ……12 分 同理:平面 的一个法向量为 , 所以 . 因为二面角 是锐二面角,所以二面角 的余弦值为 . ……15 分20. (本题满分

15 分) 解:因为 是等比数列,所以 ,所以 . ……2 分 又因为 ,所以 . 设等比数列 的公比为 ,则 ,解得 . ……4 分 所以 . ……6 分4方法 2:设等比数列 的公比为 . 由知,所以 . ……2 分 又因为 ,所以 ,故,即,解得 . ……4 分 代入 解得 .所以 . ……6 分(Ⅱ)当时, . ……7 分由可知, , 所以 ,所以 . ……9 分 所以 . ……11 分当时, ……13 分又,所以 ……15 分521. (本题满分

15 分) 解: (Ⅰ)设,,

,直线 的直线方程为: , 联立方程组 消去 得,由,得 . ……2 分 又因为 , ……4 分 所以直线 , 的斜率之积为 . ……6 分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 是 的等根,所以 , ……7 分 所以 ,即.所以直线 的直线方程为: . ……8 分 联立方程组 消去 得,所以 ,由得,所以 ,即.……9 分 直线 的直线方程为: , 联立方程组 消去 得,所以 , , 所以 . ……11 分 又点 到直线 的距离 , ……12 分 所以 由题可知 ,解得 . ……15 分第21 题图

6 22. (本题满分

15 分) 解: (Ⅰ)当时, , 所以 . ……1 分 因为函数 的定义域为 所以当 时, , 是增函数;

当时, , 是减函数;

当时, , 是增函数;

……3 分 因为 ,所以当 时, ,此时无零点. ……4 分 又因为 , , 且 在区间 上增函数,所以有且只有一个实数 ,使得 . 综上所述:函数 有且仅有一个零点. ……6 分(Ⅱ) . 因为 ,所以 所以关于 的方程 有两个正实根, 即为 , ,故……8 分又.……9 分设,则 ,所以 , , 所以 . ……11 分由知.……12 分设,则 , , 记,则,当时, ,所以 是减函数. ……14 分故,所以 . ……15 分