PDF《挖掘习题内涵 探究问题真谛》

42 福建中学数学

2017 年第

6 期即3sin sin150 sin(30 ) θ θ = ? ? ? , 4sin

3 cos θ θ ∴ = ,

3 tan

4 θ ∴ = .

"直观想象"在数学解题中有着重要的作用,在 直观想象核心素养的形成过程中, 学生能够进一步 发展几何直观和空间想象能力, 增强运用图形和空 间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感 悟事物的本质,培养创新思维,平时教学和高考复 习都应予以足够的重视. (本文是

2015 年度漳州市基础教育课程教学研究课题"课堂教学评价 的研究"的研究成果) 挖掘习题内涵 探究问题真谛 林志斌

1 郭富梅

1 缪向光

2 1 福建省泉州市第七中学(362000)

2 福建省福安市第一中学(355000)

1 问题提出 细心的教师会发现,人教版选修 2-1 中有这样 的四道题目: 第81 页:已知点 A ,B 的坐标分别是 (

1 0) ? , , (1 0) , ,直线 AM , BM 相交于 M ,且它们的斜率 之和为 2,求点 M 的轨迹方程. 第74 页:已知点 A ,B 的坐标分别是 (

1 0) ? , , (1 0) , ,直线 AM , BM 相交于 M ,且它们的斜率 之差为 2,求点 M 的轨迹方程. 第41 页:已知点 A ,B 的坐标分别是 (

1 0) ? , , (1 0) , ,直线 AM , BM 相交于 M ,且它们的斜率 之积为 2,求点 M 的轨迹方程. 第42 页:已知点 A ,B 的坐标分别是 (

1 0) ? , , (1 0) , ,直线 AM , BM 相交于 M ,且它们的斜率 之商为 2,求点 M 的轨迹方程. 在惜字如金的教材中连续出现这样四道题, 动点M到两定点 A , B 的连线的斜率关系中到底隐 含着哪些轨迹呢?

2 探究一般性 探究

1 已知点 A , B 的坐标分别是 ( 0) a ? , , ( 0)( 0) a a > , ,直线 AM , BM 相交于 M ,且它们 的斜率之和为 m ,求点 M 的轨迹方程. 解 设动点 ( ) M x y , , 直线 AM , BM 的斜率分别为

1 k ,

2 k , 那么

1 ( ) y k x a x a = ≠ ? + ,

2 ( ) y k x a x a = ≠ ? ,

1 2 y y k k m x a x a + = + = + ? , 化简得

2 2 ( )

2 m xy x a = ? , 当0m=时,方程为 0( ) xy x a = ≠ ± , 所以轨迹是 x 或y轴(去掉 A B , 两点) ;

当0m≠时,方程

2 ( )

2 m a y x x = ? ,

0 m > 时,轨迹是以

0 x = ,y x = 为渐近线,关 于原点对称的曲线(图1);

0 m < 时,轨迹是以

0 x = , y x = ? 为渐近线, 关于原点对称的曲线(图2). 探究

2 已知点 A , B 的坐标分别是 ( 0) a ? , , ( 0)( 0) a a > , ,直线 AM , BM 相交于 M ,且它们 的斜率之差为 m ,求点 M 的轨迹方程. 解 设动点 ( ) M x y , , 直线 AM BM , 的斜率分别为

1 k ,

2 k , 那么

1 2 y y k k m x a x a ? = ? = + ? , 化简得

2 2 ( )

2 m y x a a = ? ? , 当0m=时, 方程为

0 y = , 轨迹为 x 轴 (去掉 A , B 两点) .

0 m > 时,轨迹是以顶点在 ( 0)

2 am , ,开口向下 的抛物线(图3), 图2图1万方数据

2017 年第

6 期 福建中学数学

43 0 m < 时,轨迹是以顶点在 ( 0)

2 am , ,开口向上 的抛物线(图4). 探究

3 已知点 A , B 的坐标分别是 ( 0) a ? , , ( 0)( 0) a a > , ,直线 AM , BM 相交于 M ,且它们 的斜率之积为 m ,求点 M 的轨迹方程. 解 设动点 ( ) M x y , , 直线 AM , BM 的斜率分别为

1 k ,

2 k , 那么由条件可得

1 2 y y k k m x a x a ? = ? = + ? , 化简得

2 2

2 mx y ma ? = . 当m=0时,方程为 0( 0) y x = ≠ ,轨迹为 x 轴 (去掉 A , B 两点) ;

当1m