PDF《第二十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答》

1790 年到

1815 年人口数的增长率, 1.15 = 8438982÷3929827?1. 由此可见, 在1875 年之前美国人口的

25 年增长率在 1.05 左右, 可以认为每

25 年翻一倍. 马尔萨 斯的假设是成立的.但是在

1875 年以后随着人口数的增长,人口数的增长率在不断地 降低,到1900 年以后人口的

25 年增长率已经低于 0.7,马尔萨斯关于

25 年人口翻倍 的假设就不再成立了.

三、现有一种报警器,经测试,当灾难来临时它报警的概率是 0.9999,当没有发生 灾难时它不报警的概率是 0.998. 使用这种报警器,可能会产生两种错误:一是因灾难来临时它没有报警,导致发 生了灾难没有抢救,二是因没有发生灾难它报警,导致无谓地采取了抢救措施.这两 种错误都会造成损失.不难看出,若只有一个报警器,发生这两种错误的概率分别是 0.0001 和0.002. 由于无法改善报警器的质量,为了降低这两种错误发生的概率,人们试图采取安 装多个报警器的办法. (1)如果安装两个报警器,可以有两种抢救方案:一种是只要有报警器报警就采 取抢救措施;

另一种是只有当两个报警器同时报警时,才采取抢救措施.请说明,无 论哪一种方案都无法同时降低两种错误发生的概率. (2)如果安装三个报警器,能否设计一种方案,使得两种错误发生的概率都会降 低.如果能,请给出具体的设计;

如果不能,请说明道理. 表2美国

1850 年至

1910 年的人口普查数据 年代

1850 1860

1870 1880

1890 1900

1910 人口数 23,101,876 31,443,321 38,558,371 50,155,783 62,947,714 75,994,575 91,972,200 年代 人口数

25 年 增长率 年代 人口数

25 年 增长率

1790 3,929,827

1855 27,272,598 1.11

1795 4,617,876

1860 31,443,321 1.10

1800 5,305,925

1865 35,000,846 1.05

1805 6,272,869

1870 38,558,371 0.92

1810 7,239,814

1875 44,357,077 0.92

1815 8,438,982 1.15

1880 50,155,783 0.84

1820 9,638,151 1.08

1885 56,551,748 0.79

1825 11,252,850 1.12

1890 62,947,714 0.79

1830 12,866,020 1.05

1895 69,471,144 0.80

1835 14,964293 1.01

1900 75,994,575 0.71

1840 17,062,566 1.02

1905 83,983,387 0.67

1845 20,082,221 1.08

1910 91,972,200 0.63

1850 23,101,876 1.04 第二十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答 第 3页 共5页解(1)对于方案 1,只要有报警器报警就采取抢救措施.即只有两个报警器都不 报警,才不会去抢救. 当灾难发生时,两个报警器都不报警的概率是 0.00012 1?0.998=0.002,因此,此时去抢救的概率大于 0.002.也就是 说,不发生灾难时,却出去抢救的概率增大了,不如原来只有一个报警器时好. 对于方案 2,只有当两个报警器同时报警时才采取抢救措施. 当灾难发生时,两个报警器都报警的概率是 0.99992