PDF《第十一章》

第十一章 第1节4.

(1) { }

0 ,

0 ) , ( ≠ > = y x y x D S ;

S ? { }

0 ,

0 0 ) , ( = > = = y x x y x 或;

{}0),(≥=xyxS.(2) { }

1 0 ) , (

2 2 < + < = y x y x D S ;

S ? { }

1 0 ) , (

2 2

2 2 = + = + = y x y x y x 或;

{}1),(22≤+=yxyxS.(3) ;

= D S ? S ? = ? ? ? ? ? ? ≤ ≤ ? = = ≤ <

1 1 ,

0 1 sin ,

1 0 ) , ( y x x y x y x 或;

=S??????≤≤?==≤ R

2 2

2 R y x > + ) , ( ) , (

0 0 y x f y x f > ) , ( y x f } ) , {(

2 2

2 R y x y x ≤ + 上必 定取到最小值,且此最小值就是它在

2 R 上的最小值;

(2) 提示: 任取 , 设,由),(00yx0),(00>yxf0),(lim

2 2 = +∞ → + y x f y x , 可知存在 , 当 ,成立 ,则 在紧集

0 > R

2 2

2 R y x > + ) , ( ) , (

0 0 y x f y x f < ) , ( y x f } ) , {(

2 2

2 R y x y x ≤ + 上必定取到最大值,且此最大值就是它在

2 R 上的最大值;

若 ,由 ,可知存在 ,当 ,成立 , 则 在紧集

0 ) , (

0 0 < y x f

0 ) , ( lim

2 2 = +∞ → + y x f y x

0 > R

2 2

2 R y x > + ) , ( ) , (

0 0 y x f y x f > ) , ( y x f } ) , {(

2 2

2 R y x y x ≤ + 上必定取到最小值,且此最小值就是它在

2 R 上的最小值. 6.提示:单位球面是 n R 上的紧集,设 在单位球面上的最小最大值分别为 和 ,再利用 f a b ? ? ? ? ? ? ? ? = x x f x x f ) ( . 8. 提示: 设D?∈?,证明对任意点列{ } n x ( D xn ∈ , ? → n x ), 点列{ 收敛, 且极限只与 } ) ( n x f ? 有关, 而与点列{ } n x 的选取无关, 记该极限为 ) (? g , 令????∈∈=DxxgDxxfxf)()()(~,再证明 f ~ 在D连续. 2