PDF《平凡西罗限制模上的格林对应》

又设V 是不可分 解k G 模, U 是不可分解k H 模,并且 P 是它们的顶;

那么

1 ) R e s G HV 和I n d G HU 分别有唯一的顶为P 的不可分解直因子f( V)和g( U) ;

2 ) g( f( V) )?V 和f( g( U) ) ?U, f 和g 建立了顶为P 的不可分解k G 模同构类和顶为P 的不可分 解k H 模同构类之间的一一对应( 参见文献[

9 ]中的定理1

1 .

6 .

4 ) . 上述一一 对应也称为格林对应,它由J.Green在文献[4]中 首次提出.下面的引理4称为Burry-Puig-Carlson定理( 参见文献[

9 ]中的定理1

1 .

6 .

9 ) . 引理4 设P 是群G 的p 子群, H 是G 的子群,并且 H ≥ NG ( P) ;

又设V 是一个不可分解k G 模, 并且U 是ResGHV 的不可分解直因子;

若P 是U 的顶,那么, U 恰是V 的格林对应. 定理1 设P 是群G 的西罗p 子群, H 是G 的子群,并且 H ≥ NG ( P) ;

若M是不可分解平凡西罗 限制k G 模,那么, M 的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制k H 模,并且,它恰是 R e s G HM 的盖. 证 由引理3知, R e s G HM 是平凡西罗限制k H 模;

由性质1和性质2得知,对于 R e s G HM ,它的盖是 其唯一的不可分解平凡西罗限制直因子,并且,它的盖的顶是G 的西罗p 子群,这说明,它的盖是其唯一

3 第8期 黄文林:平凡西罗限制模上的格林对应 的顶为G 的西罗p 子群的不可分解直因子;

再由引理4知, M 的格林对应恰是 R e s G HM 的盖,它是一个不 可分解平凡西罗限制k H 模. 定理2 设H是G 的子群, N 是平凡西罗限制k H 模,并且 M = I n d G HN;

那么, M 是平凡西罗限制 k G 模当且仅当 H 包含G 的西罗p 子群P 并且P ∩ Hx =1, x ∈G -H . 证若H的西罗p 子群 Q 是G的西罗p 子群 P 的真子群,那么,M 是H投射k G 模,从而 是Q投射k G 模( 参见文献[ 9]中的性质1

1 .

3 . 5) ,再由文献[ 6]中的习题2

3 . 1知dim( M ) =0 ( m o dp) 结合引理2,得知 M 不是平凡西罗限制k G 模. 下面的证明中,设Q=P,即H包含G 的西罗p 子群P;

此时,由F r o b e n i u s互反律( 参见文献[

9 ] 中 的推论4 .

3 .

8 )知ResGPM =R e s G P I n d G HN =?x∈P \ G / HI n d P P∩Hx R e s Hx P∩HxNx = N ?x∈P \ G / H , x≠1 I n d P P∩Hx R e s Hx P∩HxNx 这说明,若M是平凡西罗限制k G 模,那么,一方面,由推论1得知, R e s G PM 是平凡西罗限制k P 模,再 由性质1得知,对于每一个x ∈P\ G / H , x ≠1, I n d P P∩HxNx 都是投射k P 模. 另一方面,共轭模 Nx 是平凡西罗限制k Hx 模,从而 k|R e s Hx P∩HxNx 以及 I n d P P∩Hx k| I n d P P∩Hx R e s Hx P∩HxNx 这说明, I n d P P∩Hx k 是投射k P 模,所以P ∩ Hx 是平凡子群,即P ∩ Hx =1. 必要性得证. 反之,若P ∩ Hx =1, x ∈G -H ,与上述必要性证明类似,结合性质1得知, R e s G PM 是平凡西罗限 制k P 模,再由推论1, M 是平凡西罗限制k G 模. 充分性得证. 设H是群G 的子群,若H含有p 元素,但对每个x ∈G-H , H ∩ Hx 都是p '

群,则称 H 是G 的强p 嵌入子群. 强p 嵌入子群 H 包含G 的任何p 子群的正规化子[

1 2 ] . 定理3 设H是群G 的子群, N 是不可分解平凡西罗限制k H 模;

若H是G 的强p 嵌入子群,那么N的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制k G 模,并且,它恰是I n d G HN 的盖. 证 设强p 嵌入子群H 包含G 的西罗p 子群P,那么, H ≥ NG ( P) ,并且,对每个x ∈G -H , H ∩ Hx 都是p '

群,从而, P ∩ Hx =1,由定理2得知, I n d G HN 是平凡西罗限制k G 模,由性质2知, I n d G HN 的盖是其唯一顶为P 的不可分解直因子,再由引理4得知, I n d G HN 的盖是N 的格林对应,它是一个 不可分解平凡西罗限制k G 模. 对于有限群G 以及它的西罗p 子群P,若P ∩Px =1, x ∈G -NG ( P) ,则称西罗p 子群P 是平 凡交的,此时, NG ( P)是G 的强p 嵌入子群;