PDF《第33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 》

1? ? 第33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答?

2016 年9月17 日

一、 (20 分)如图,上、下两个平凸透光柱面的 半径分别为

1 R 、

2 R , 且两柱面外切;

其剖面 (平面)分别平行于各自的轴线,且相互平行;

各 自过切点的母线相互垂直.

取两柱面切点 O 为 直角坐标系 O-XYZ 的原点, 下侧柱面过切点 O 的母线为 X 轴,上侧柱面过切点 O 的母线为 Y 轴.一束在真空中波长为 ? 的可见光沿 Z 轴负 方向傍轴入射,分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉;

借助于光学读数显微镜,逆着 Z 轴方向,可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在 X-Y 平面的投影.

1 R 和2R远大于傍轴光线 干涉区域所对应的两柱面间最大间隙.空气折射率为

0 1.00 n ? .试推导第 k 级亮纹在 X-Y 平面的 投影的曲线方程. 已知:a.? 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧,折射率较大(小)的介质为光密(疏) 介质;

光线在光密(疏)介质的表面反射时,反射波存在(不存在)半波损失.任何情形下,折 射波不存在半波损失.伴随半波损失将产生大小为 π 的相位突变.b.? sin ,

1 x x x ? ?? 当.? 参考解答: 如图 a 所示,光线

1 在上侧柱面 P 点处傍轴垂直入射,入射角为? ,折 射角为

0 ? ,由折射定律有?

0 0 sin sin n n ? ? ? 其中 n 和0n分别玻璃与空气的折射率. 光线在下侧柱面 Q 点处反射,入射角 与反射角分别为i 和i? ,由反射定律有? i i? ? 光线在下侧柱面 Q 点的反射线交上侧柱面于 P?点,并由 P?点向上侧柱面折射,折射光线用1?? 表示;

光线1?? 正好与 P?点处的入射光线

2 的反射光线 2? 相遇,发生干涉.考虑光波反射时的半波损 失,光线1?? 与光线 2? 在P?点处光程差 L ? 为? ? ? ? ? p

0 p

0 p p ( ) (PQ P Q) ( ) (PQ P Q) ( )

2 2 L n z n n z n n z z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③? 2? ? 式中 ? 为入射光线在真空中的波长,

0 1.00 n ? .由题意,

1 R 和2R远大于傍轴光线干涉区域所对应 的两柱面间最大间隙;

因而在傍轴垂直入射情况下有?

0 ? ? ,

1 i i ? ? ?? ? ①式成为?

0 0 n n ? ? ? 亦即?

0 1

0 n ? ? ?? ? ? 在傍轴条件下,? 柱面上 P、Q 两处切平面的法线近似平行,因此?

0 1

0 i i ? ? ?? ? ? ? 从而,在P、Q 两处,不仅切平面的法线近似平行,而且在上下表面的反射光线、折射光线均近 似平行于入射线,因而也近似平行于 Z 轴,从而 P?与P点近似重合,即? p p z z ? ? ⑦ ? ? 且PQ 近似平行于 Z 轴,因而长度? P Q P Q PQ z z ? ? ? ? ⑧ ? 由③⑧式得? ? ?

0 0 P Q

2 PQ

2 2

2 L n n z z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑨ ? 可以将⑨式右端的 - z 坐标近似用 - x 或-y坐标表出.为此,引 入一个近似公式.如图 b 所示,设置于平面上的柱面透镜与平面之 间的空气隙的厚度为 e ,柱面半径为 R .对三边边长分别为 R 、 R e ? 和r的直角三角形有 ? ?

2 2

2 = R R e r ? ? ⑩ 即222Re e r ? ? ? 在光线傍轴垂直入射时, e R ?? ,可略去?式 左端的

2 e ,故22reR??在光线傍轴垂直入射时, 前面已证近似有 PQ//Z 轴.故可将上、下两个柱面上的 P、Q 两 点的坐标取为 P P ( , , ) x y z 、Q Q ( , , ) x y z ,如图 c 所示.根据?式可知,P、Q 两点到 XOY 切平面的距离分别为 3? ?

2 1 P

1 2 x e z R ? ? ,

2 2 Q

2 2 y e z R ? ? ? ? 最后,光线在上、下两个柱面反射并相遇时, 其光程差 L ? 为????0PQ0122222Lnzznee?????????222200121222222xyxynnRRRR?????????????????????若P、Q 两点在 XOY 平面的投影点 ( , ) x y 落在第 k 级亮(暗)纹上,则L?须满足条件