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* 通信原理 长安大学信息工程学院 * 通信原理 第10章 数字信号最佳接收 * 第10章 数字信号最佳接收 10.

1数字信号的统计特性以二进制为例研究接收电压的统计特性.假设:通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声,其单边功率谱密度为n0;

并设发送的二进制码元为

0 和

1 ,其发送概率分别为P(0)和P(1),则有P(0) + P(1) = 1若此通信系统的基带截止频率小于fH,则根据低通信号抽样定理,接收噪声电压可以用其抽样值表示,抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH.设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样,共得到k个抽样值:,则有k = 2fHTs. * 第10章 数字信号最佳接收 由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量,故其一维概率密度可以写为式中,?n - 噪声的标准偏差;

?n2 - 噪声的方差,即噪声平均功率;

i =1,2,…,k.设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为 * 第10章 数字信号最佳接收 由高斯噪声的性质可知,高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布.所以,带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的.这样,此k 维联合概率密度函数可以表示为当k 很大时,在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可以表示为:或者将上式左端的求和式写成积分式,则上式变成 * 第10章 数字信号最佳接收 利用上式关系,并注意到 式中 n0 - 噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为:式中 n = (n1, n2, …, nk) - k 维矢量,表示一个码元内噪声的k个抽样值.需要注意,f(n)不是时间函数,虽然式中有时间函数n(t),但是后者在定积分内,积分后已经与时间变量t无关.n是一个k维矢量,它可以看作是k 维空间中的一个点. * 第10章 数字信号最佳接收 在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k(它和系统带宽有关)给定后,f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量:由于噪声的随机性,每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的,这就使被传输的码元中有一些会发生错误,而另一些则无错. * 第10章 数字信号最佳接收 设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和:r(t) = s(t) + n(t)则在发送码元确定之后,接收电压r(t)的随机性将完全由噪声决定,故它仍服从高斯分布,其方差仍为?n2,但是均值变为s(t).所以,当发送码元

0 的信号波形为s0(t)时,接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为式中 r = s + n ― k 维矢量,表示一个码元内接收电压的k个抽 样值;

s - k 维矢量,表示一个码元内信号电压的k个抽样值. * 第10章 数字信号最佳接收 同理,当发送码元

1 的信号波形为s1(t)时,接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为顺便指出,若通信系统传输的是M 进制码元,即可能发送s1,s2,…,si,…,sM之一,则按上述原理不难写出当发送码元是si时,接收电压的k 维联合概率密度函数为仍需记住,以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间t的函数,并且是一个标量,而r 仍是k维空间中的一个点,是一个矢量. * 第10章 数字信号最佳接收 10.2 数字信号的最佳接收 最佳 的准则:错误概率最小产生错误的原因:暂不考虑失真的影响,主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小.判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元

1 的概率为P(1),发送码元

0 的概率为P(0),则总误码率Pe等于式中Pe1 = P(0/1) - 发送

1 时,收到

0 的条件概率;

Pe0 = P(1/0) - 发送

0 时,收到

1 的条件概率;

上面这两个条件概率称为错误转移概率. * 第10章 数字信号最佳接收 按照上述分析,接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个k 维矢量表示.接收设备需要对每个接收矢量作判决,判定它是发送码元

0 ,还是

1 .由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和f1(r)的曲线画在下图中(在图中把r 当作1维矢量画出.):可以将此空间划分为两个区域A0和A1,其边界是r0?,并将判决规则规定为: 若接收矢量落在区域A0内,则判为发送码元是

0 ;

若接收矢量落在区域A1内,则判为发送码元是

1 . A0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) * 第10章 数字信号最佳接收 显然,区域A0和区域A1是两个互不相容的区域.当这两个区域的边界r0?确定后,错误概率也随之确定了.这样,总误码率可以写为式中,P(A0/1)表示发送

1 时,矢量r落在区域A0的条件概率 P(A1/0)表示发送

0 时, 矢量r落在区域A1的条件概率这两个条件概率可以写为:这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示. A0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) * 第10章 数字信号最佳接收 将上两式代入得到参考上图可知,上式可以写为上式表示Pe是r0?的函数.为了求出使Pe最小的判决分界点r0?,将上式对r0?求导 并令导函数等于0,求出最佳分界点r0的条件: A0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) * 第10章 数字信号最佳接收 即当先验概率相等时,即P(1) = P(0)时,f0(r0) = f1(r0),所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上.在判决边界确定之后,按照接收矢量r 落在区域A0应判为收到的是

0 的判决准则,这时有:若 则判为

0 ;

反之,若则判为

1 .在发送

0 和发送

1 的先验概率相等时,上两式的条件简化为: A0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) 若f0(r) >

f1(r),则判为

0 若f0(r) <

f1(r),则判为

1 * 第10章 数字信号最佳接收 这个判决准则常称为最大似然准则.按照这个准则判决就可以得到理论上最佳的误码率,即达到理论上的误码率最小值.以上对于二进制最佳接收准则的分析,可以推广到多进制信号的场合.设在一个M 进制数字通信系统中,可能的发送码元是s1,s2,…,si,…,sM之一,它们的先验概率相等,能量相等.当发送码元是si时,接收电压的k 维联合概率密度函数为于是,若 则判为si(t),其中, * 第10章 数字信号最佳接收 10.3 确知数字信号的最佳接收机确知信号:指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号.判决准则当发送码元为

0 ,波形为so(t)时,接收电压的概率密度为当发送码元为

1 ,波形为s1(t)时,接收电压的概率密度为因此,将上两式代入判决准则式,经过简化,得到: * 第10章 数字信号最佳接收 若则判为发送码元是s0(t);

若 则判为发送码元是s1(t). 将上两式的两端分别取对数,得到若则判为发送码元是s0(t);

反之则判为发送码元是s1(t).由于已经假设两个码元的能量相同,即所以上式还可以进一步简化. * 第10章 数字信号最佳接收 若式中则判为发送码元是s0(t);

反之,则判为发送码元是s1(t).W0和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子.最佳接收机按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下: * 第10章 数字信号最佳接收 W1 r(t) S1(t) S0(t) W0 t = Ts 比较判决 积分器 积分器 * r(t) S0(t) S1(t) 积分器 积分器 比较判决 t = Ts 第10章 数字信号最佳接收 若此二进制信号的先验概率相等,则上式简化为最佳接收机的原理方框图也可以简化成 * 第10章 数字信号最佳接收 由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构 上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算,所以常称这种算法为相关接收法.由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值. 积分器 r(t) SM(t) S0(t) S1(t) 比较判决 积分器 积分器 * 第10章 数字信号最佳接收 10.4 确知数字信号最佳接收的误码率总误码率在最佳接收机中,若则判为发送码元是s0(t).因此,在发送码元为s1(t)时,若上式成立,则将发生错误判决.所以若将........