PDF《数学杂志》

Vol.

38 (

2018 ) No.

5 数学杂志J. of Math. (PRC) 基于媒体报道下的一类 SIRS 传染病模型研究 张林1,李存林

2 , 郭文娟

1 (1. 北方民族大学数学与信息科学学院, 宁夏 银川 750021) (2. 北方民族大学管理学院, 宁夏 银川 750021) 摘要: 本文主要研究了基于媒体报道下的一类 SIRS 传染病模型的持久与灭绝问题. 利用一个 控制疾病持久与灭绝的临界值 R0, 求得了该模型存在两个平衡点: 无病平衡点和地方病平衡点. 结果 表明当 R0 ≤

1 时,无病平衡点呈全局渐进稳定, 这表示疾病是灭绝的;

而当 R0 >

1 时, 地方病平衡 点呈全局渐进稳定, 这说明疾病是持久的. 最后通过数值分析验证了该结论. 关键词: SIRS 模型;

媒体报道;

基本再生数;

全局渐进稳定性 MR(2010) 主题分类号: 34D20;

34D23 中图分类号: O175.13 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2018)05-0887-09

1 引言 随着社会经济的快速发展, 传染病和流行病给人们的生活、社会发展等带来了很大的危 害. 越来越引起了许多生物数学和疾病预防等工作者的重视, 并取得了一些研究成果 [1C5] . 考 虑如下经典的 SIRS 传染病模型 [6] : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dS dt = Λ ? ?S ? βSI

1 + αI2 + γR, dI dt = βSI

1 + αI2 ? (? + ν + δ)I, dR dt = νI ? (? + γ)R, (1.1) 其中符号皆为正的常数, 意义表示如表 1. 表1: 符号及其含义 符号 含义 符号 含义 t 时间 ? 人口的自然死亡率 S(t) t 时刻易感者的人口数量 δ 疾病的致死率 I(t) t 时刻感染者的人口数量 β 传染率 R(t) t 时刻恢复着的人口数量 ν 感染者的恢复率 Λ 易感者的补充率 γ 免疫的失去率 ? 收稿日期: 2017-09-16 接收日期: 2017-11-29 基金项目: 国家自然科学基金资助 (71561001);

北方民族大学研究生创新项目资助 (YCX1779). 作者简介: 张林 (1991C), 男, 苗族, 贵州遵义, 硕士, 主要研究方向: 不确定与理论与方法. 通讯作者: 李存林.

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38 众所周知, 通过媒体报道可以降低人与人之间的接触率, 这在

2003 年的非典 [4, 7, 8] 和2013 年的 H7N9 [9] 传染病中已经得到了证实. 作为一种新型的传染病 H7N9 于2013 年首次 出现在上海, 它和非典一样, 短时间内在人类迅速传播开. 后来人们通过电视的报道了解到 H7N9 是通过人与人之间的接触传播的, 于是大部分人采取尽量少出门, 少参加一些社会活 动来降低人与人之间的接触率, 这确实在一定程度上减少了疾病的传播. 然而, 模型 (1.1) 中并没有考虑媒体报道对传染病的影响. 事实上, 由于媒体报道的因素, 传染率 β 是会减小的 [4] . 因此将传染率 β 表示为媒体报道的函数, 即β=β1 ? β2f(I), 那么 模型 (1.1) 转换为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dS dt = Λ ? ?S ? (β1 ? β2f(I)) SI

1 + αI2 + γR, dI dt = (β1 ? β2f(I)) SI

1 + αI2 ? (? + ν + δ)I, dR dt = νI ? (? + γ)R, (1.2) 其中 β1 是不考虑感染者的一般接触率, β2 是因感染者的存在而减少的最大接触率. 因为每 个人与他人的接触不可避免, 故而假设 β1 >

β2. 函数 f(I) 满足 (H1) f(0) = 0, f (I) ≥

0 且lim I→∞ f(I) = 1. 模型 (1.2) 是在模型 (1.1) 的基础上考虑了媒体报道对疾病的影响, 并且证明了 R0 =

1 的情形, 即当 R0 =

1 时, 无病平衡点 E0 = (Λ ? , 0, 0) 仍然是全局渐进稳定的. 本文

第二节首 先给出了模型 (1.2) 的基本再生数, 并讨论了模型 (1.2) 平衡点的存在性;

第三节在平衡点存 在的情况下讨论其无病平衡点和地方病平衡点的全局渐进稳定性, 从而得知疾病的灭绝与持 久是由基本再生数控制的. 最后通过数值模拟对得出的结果进行了验证.

2 基本再生数和平衡点的存在性 首先给出模型 (1.2) 的一个控制疾病持久与灭绝的临界值 [10] C 基本再生数 [11] R0 = Λβ1 ?(? + ν + δ) . (2.1) 设Nt = St + It + Rt, 将模型 (1.2) 中的三个方程相加可得 dN dt = Λ ? ?(S + R + I) ? δI = Λ ? ?N ? δI, Λ ? (? + δ)N ≤ dN dt = Λ ? ?N ? δI ≤ Λ ? ?N, 两边同时对 t 积分 Λ ? + δ + N(0) ? Λ ? + δ e?(?+δ)t ≤ N(t) ≤ Λ ? + N(0) ? Λ ? e??t . 因此 Λ ? + δ ≤ lim t→∞ inf N(t) ≤ lim t→∞ sup N(t) ≤ Λ ? . No.

5 张林等: 基于媒体报道下的一类 SIRS 传染病模型研究

889 根据上述推理现在定义一个有界集 Γ: Γ = (S, I, R) ∈ X : Λ ? + δ <

S + I + R ≤ Λ ? ? X, (2.2) 其中 X ≡ R3 + = {(S, I, R) : S >

0, I ≥ 0, R ≥ 0} 为模型 (1.2) 的状态空间. 通过计算, 很容易 得到模型 (1.2) 的无病平衡点 E0 = (Λ ? , 0, 0) 是恒存在的. 下面继续讨论地方病平衡点 E? = (S? , I? , R? ) 的存在性. 设E? = (S? , I? , R? ) 是下列方 程组的一个解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Λ ? ?S? ? (β1 ? β2f(I? )) S? I?

1 + αI?2 + γR? = 0, (β1 ? β2f(I? )) S? I?

1 + αI?2 ? (? + ν + δ)I? = 0, νI? ? (? + γ)R? = 0, (2.3) 对方程组 (2.3) 求解可得 S? = (? + ν + δ)(1 + αI?2 ) β1 ? β2f(I?) , R? = ν ? + γ I? , 且Λ??(? + ν + δ)(1 + αI?2 ) β1 ? β2f(I?) ? (? + ν + δ)I? + γν ? + γ I? = 0. 令F(I) := Λ ? ?(? + ν + δ)(1 + αI2 ) β1 ? β2f(I) ? ((? + ν + δ) ? γν ? + γ )I, 根据假设 (H1) 可知 F(I) 是一个减函数, 因此 F(0) = Λ ? ?(? + ν + δ) β1 =

1 β1 ?(? + ν + δ)(R0 ? 1). 若R0 >

1, F(I) =

0 存在一个正解 I? , 则模型 (1.2) 存在唯一的地方病平衡点 E? = (S? , I? , R? ), 其中 S? = (? + ν + δ)(1 + αI?2 ) β1 ? β2f(I?) , R? = ν ? + γ I? .

3 平横点的全局渐进稳定性 下面讨论模型 (1.2) 的无病平衡点 E0 和地方病平衡点 E? 的全局渐进稳定性. 定理 3.1 若R0 ≤ 1, 则模型 (1.2) 的无病平衡点 E0 = (Λ ? , 0, 0) 是全局渐进稳定的. 证 定义一个 Lyapunov 函数 V (S, I, R) =

1 2 (S ? Λ ? )2 + θ1I + θ2R, 其中 θ1 = Λ ? , θ2 = ? ? ? ?2 θ1(? + ν + δ)(1 ? R0) ν(?2 + αΛ2) ? , 如果 R0 <

1, 0, 如果 R0 = 1, (3.1)

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38 足够小. 则有 dV dt =(S ? Λ ? )(Λ ? ?S ? (β1 ? β2f(I)) SI

1 + αI2 + γR) + θ1((β1 ? β2f(I)) SI

1 + αI2 ? (? + ν + δ)I) + θ2(νI ? (? + γ)R) = ? ?(S ? Λ ? )2 ? (S ? Λ ? )(β1 ? β2f(I)) SI

1 + αI2 + γ(S ? Λ ? )R + θ1((β1 ? β2f(I)) SI

1 + αI2 ? (? + ν + δ)I) + θ2(νI ? (? + γ)R). 令(β1 ? β2f(I)) SI

1 + αI2 = (β1 ? β2f(I))(S ? Λ ? ) I

1 + αI2 + Λ ? (β1 ? β2f(I)) I

1 + αI2 , 因此 dV dt ≤ ? ?(S ? Λ ? )2 ? (S ? Λ ? )2 (β1 ? β2f(I)) I

1 + αI2 + θ1Λ(β1 ? β2f(I)) ? ?(1 + αI2 )(θ1(? + ν + δ) ? θ2ν) ?(1 + αI2) I ? θ2(? + γ)R. (3.2) 分析 θ1Λ(β1 ? β2f(I)) ? ?(1 + αI2 )(θ1(? + ν + δ) ? θ2ν), 有θ1Λ(β1 ? β2f(I)) ? ?(1 + αI2 )(θ1(? + ν + δ) ? θ2ν) =θ1[Λβ1 ? ?(1 + αI2 )(? + ν + δ)] ? θ1Λβ2f(I) + θ2?(1 + αI2 )ν ≤θ1[Λβ1 ? ?(? + ν + δ)] + θ2?(1 + αI2 )ν. 将上面的不等式代入 (3.2) 式, 可以得到 dV dt β1 ? β2f(I)) I

1 + αI2 S ? Λ ?

2 ? θ1?2 (? + ν + δ)(R0 ? 1) ?2 + αΛ2 I + θ2νI ? θ2(? + γ)R. (3.3) (1) 当R0 <

1 时, dV dt β1 ? β2f(I)) I

1 + αI2 S ? Λ ?

2 ? ν I ? θ2(? + γ)R. (3.4) 因为 S, I, R 非负, 则(3.4) 式的右边非正, 即dV dt ≤ 0;

dV dt =

0 当且仅当 (S, I, R) = Λ ? , 0,

0 . (2) 当R0 =

1 时, θ2 = 0, 从(3.3) 式可以得到 dV dt β1 ? β2f(I)) I

1 + αI2 S ? Λ ?

2 , (3.5) No.

5 张林等: 基于媒体报道下的一类 SIRS 传染病模型研究

891 dV dt =

0 当且仅当 S = Λ ? . 根据 LaSalle 不变原理, 模型 (1.2) 的任意解都收敛到 B, 其中 B ? {(S, I, R) : S = Λ ? , I = 0, R = 0} 是模型 (1.2) 的最大不变子集, 即B={E0} 是一个单 点集. 因此, 当R0 ≤

1 时, 在有界集 Γ 中, E0 是全局渐进稳定的. 证毕. 定理 3.2 当R0 >

1 时, 模型 (1.2) 存在唯一的地方病平衡点 E? = (S? , I? , R? ) 是全局 渐进稳定的, 且E0 是不稳定的. 证将E? 代入模型 (1.2) 的Jacobian 矩阵 J(E? ) = ? ? ? ? ? ? ?? ? (β1 ? β2f(I? ))I?

1 + αI?2 β2f (I? )(? + ν + δ)I? β1 ? β2f(I?) + 2α(? + ν + δ)I?2

1 + αI?2 ? (? + ν + δ) γ (β1 ? β2f(I? ))I?

1 + αI?2 ? β2f (I? )(? + ν + δ)I? β1 ? β2f(I?) ? 2α(? + ν + δ)I?2

1 + αI?2

0 0 ν ?(? + γ) ? ? ? ? ? ? , J(E? ) 的特征多项式为 λ3 + b1λ2 + b2λ + b3 = 0. 为了计算 b1, b2, b3 的值, 令J(E? ) = ? ? ? A B γ C D

0 0 ν ?(? + γ) ? ? ? , 其中 A = ?? ? C, B = ?D ? (? + ν + δ), C = (β1 ? β2f(I? ))I?

1 + αI?2 >

0, D = ? β2f (I? )(? + ν + δ)I? β1 ? β2f(I?) ? 2α(? + ν + δ)I?2

1 + αI?2 <

0. 进一步计算可得 b1 =2? + γ + C ? D >

0, b2 =(?2? ? γ)D + (2? + ν + δ + γ)C + ?2 + ?γ >

0, b3 = ? (?2 + ?γ)D + (?2 + ?γ + (? + γ)δ + ?ν)C >

0. 因为 b1b2 ? b3 =(2? + γ)D2 + (2? + ν + δ + γ)C2 ? (4? + 2γ + ν + δ)DC + (?(ν + δ + γ + 4) + γ(3? + ν + γ))C ? (2? + γ)2 D + (2? + γ)(?2 + ?γ) >

0, 由于 b1 >

0, b2 >

0 且b3 >

0, 则J(E? ) 的三个特征值的实部都非负, 由Routh-Hurwitz 准 则可知, E? 是局部渐进稳定的.

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38 令Nt = St + It + Rt, 把(1.2) 式中的三个方程相加得 dN dt = Λ ? ?N ? δI. 则方程 (1.2) 变为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dN dt = Λ ? ?N ? δI, dI dt = (β1 ? β2f(I))I

1 + αI2 (N ? I ? R)ν + δ)I, dR dt = νI ? (? + γ)R, (3.6) 且N? = S? + I? + R? . 接下来继续证明模型 (1.2) 的地方病平衡点 E? 是全局渐进稳定的, 则只需要证明模型 (3.6) 的解 (N? , I? , R? ) 是全局渐进稳定的. 考虑下面的 Lyapunov 函数 V =

1 2 (N ? N? )2 + k1(I ? I? ? I? log I I? ) +

1 2 k2(R ? R? )2 , 其中 k1 和k2 是正常数. V 的倒数为 dV dt =(N ? N? ) dN dt + k1 I ? I? I dI dt + k2(R ? R? ) dR dt =(N ? N? )(Λ ? ?N ? δI) + k1(I ? I? )

1 + αI2 ........