PDF《2019 年北京市海淀区高三期末数学（理科）逐题解析》

;

;

;

此时 ;

所以输出的 值为 . 11. 某三棱锥的三视图如上图所示,则这 个三棱锥中最长的棱与最短的棱的 长度分别为 , . 【答案】 北京新东方优能中学&

优能

1 对1联合出品

8 【解析】本题考查三视图. 三视图还原如右图所示, 此三棱锥在棱长为 的正方体中, 所以最长的棱的长度为 , 最短的棱的长度为 . 12. 设关于 的不等式组 表示的平面区域为 ,若 中有且仅有两个点在 内,则 的最大值为 . 【答案】 【解析】本题考查线性规划. 由前两个条件可得,三个点均在可行域内,且 直线 恒过点 ,当且仅当两 个点在可行域内时,只能为 点,即.所以 . 13. 在中, ,且 ,则 . 【答案】 北京新东方优能中学&

优能

1 对1联合出品

9 【解析】本题考查正弦定理,三角恒等变换. 在中, , 由正弦定理得 , , , , . 14. 正方体 的棱长为 ,动点 在线段 上,动点 在平面 .. 上,且 平面 (Ⅰ)当点 与点 重合时,线段 的长度 为;

(Ⅱ)线段 长度的最小值为 . 【答案】 【解析】本题考查立体几何综合应用. (Ⅰ)若 点在点 处,连接 ,,

不难看出 在同一平面. 不难看出 平面 .所以 点即 点. 所以 (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系. 设 北京新东方优能中学&

优能

1 对1联合出品

10 又因为 平面 , 所以 且.即即又因为 , 所以当 时, 最小,即 又因为 , 所以 ,满足 所以

三、解答题(共6小题,共80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证 明过程) 15. (本小题满分

13 分) 已知函数 ,其中 . (Ⅰ)比较 的大小;

(Ⅱ)求函数 在区间 上的最小值. 【解析】 (Ⅰ)依题意, , 北京新东方优能中学&

优能

1 对1联合出品

11 , , . (Ⅱ) , 令,,

对称轴为 , 当时,即时, ;

当时,且 ,故 . 综上, . 16. (本小题满分

13 分) 为迎接 年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活 动,并在培训结束后对学生进行了考核.记 表示学生的考核成绩,并 规定 为考核优秀,为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的 学生中随机抽取了 名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图: 北京新东方优能中学&

优能

1 对1联合出品

12 (Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取一人,请根据图中数据,估计这名 学生考核成绩优秀的概率;

(Ⅱ)从图中考核成绩满足 的学生中任取 人,设 表示这 人中成绩满足 的人数,求 的分布列和数学期望;

(Ⅲ)根据以往培训数据,规定当 时培训有效.请 你根据图中数据,判断此次冰雪培训活动是否有效,并说明理 由. 【解析】 (Ⅰ)记 从参加培训的学生中随机抽取一人,这名学生考核成绩优 秀 为事件 ,样本容量为 ,成绩优秀的人数为 . 从参加培训学生中随机抽取一人,考核成绩优秀的概率为 . (Ⅱ)成绩在 之间的人数有 人, 其中满足 人数有 人, 北京新东方优能中学&

优能

1 对1联合出品

13 随机变量 所有可能为 . , , , . 的分布列为: (Ⅲ)由 ,可知: 解得: 此时 人数为 人, 所以此次培训有效. 北京新东方优能中学&

优能

1 对1联合出品

14 17. (本小题满分

14 分) 在四棱锥 中,平面 平面 ,底面 为梯 形, , ,且,,

.(Ⅰ)求证: 平面 ;

(Ⅱ)求二面角 的余弦值;

(Ⅲ)若 是棱 的中点,求证:对于棱 上任意一点 , 与 都不 平行. 【解析】 (Ⅰ)在平面 中过点 作 ,交 于,因为平面 平面 , 平面 , 平面 平面 , 所以 平面 , 因为 平面 , 所以 , 又 ,且 , 所以 平面 . (Ⅱ)因为 平面 , 平面 ,所以 , 北京新东方优能中学&