PDF《Homework15 答案》

1 2 ? hω + ? h

2 ω , ψ+ = cosθ

2 sinθ

2 E? = E1 +

1 2 ? hω ? ? h

2 ω , ψ? = ?sinθ

2 cosθ

2 t = 0时,系统初始状态为 Ψ(0) =

1 0 = cos θ

2 ψ+ ? sin θ

2 ψ?

4 因此t >

0时波函数为 Ψ(t) = cos θ

2 e?iE+t/? h ψ+ ? sin θ

2 e?iE?t/? h ψ? = cos2 θ

2 e?iE+t/? h + sin2 θ

2 e?iE?t/? h

1 2 sinθ(e?iE+t/? h ? e?iE?t/? h ) 系统处于激发态的概率为 p = |

1 2 sinθ(e?iE+t/? h ? e?iE?t/? h )|2 = ( 2ν ω )2 sin2 ( ω t

2 ) ≈ ( 2ν ω )2 sin2 ( ωt

2 ) 微扰法求解:基态跃迁到激发态的概率为 P1→2 = |

1 i? h t

0 H21eiω21t dt |2 = ( 2ν ω )2 sin2 ( ωt

2 ) 其中ω21 = (E2 ? E1)/? h = ω. H21 = ? hν. 4. 带电一维谐振子在电磁波作用下可以发生跃迁.假设电磁波波长远大于谐振子振幅(可 在局部视为匀强电场),请写出跃迁选择定则. 解:电子在电磁场中会受到电场和磁场的作用.忽略磁场作用,我们只考虑电场的偶极 相互作用,视为微扰H = e x. 跃迁几率Pn→n 与矩阵元|xn n|2 成正比.当|xn n| = 0时,跃迁 几率为0. 故跃迁几率Pn→n = 0的条件为|xn n| =

0 xn n = (φn , xφn) 在线性谐振子的情况下,利用 xφn =

1 α [ n

2 φn?1 + n +

1 2 φn+1] 得到 xn n =

1 √ 2α [ √ nδn ,n?1 + √ n + 1δn ,n+1] 可见,要使|xn n| = 0,必须 n = n ?

1 or n = n +

1 即?n = ±1

5 5.t = 0时z向磁场Bz中一个电子处于Sz = ? h/2态,不考虑其空间运动. 现在加上x方向磁 场Bx Bz, 求t >

0时自旋向上的几率. (你可以有几种方法计算? ) (1)由题目知道,系统的哈密顿量有如下形式: H = H0 + H = ? ? h

2 ωσz ? δσx (1) 其中,δ ω. H0 = ?? h

2 ωσz的本征值为±? hω

2 对应的本征态分别为|? . 我们考虑以上过程实际上是瞬时完成的:突然H0 → H = H0 + H . 然后在H表象中看问 题.为此先求H = H0 + H 的本征态. 由久期方程: ω

2 ? λ δ δ ?ω

2 ? λ = 0, 得到两个本征值 λ1,2 = ± ω2

4 + δ2 ≈ ± ω

2 (1 + 2δ2 ω2 ) (2) 和对应的两个本征态: 由λ1 c1 c2 = δ λ1 ? ω

2 ≈ ω δ (3) 得φ+ =

1 √ ω2 + δ2 ω δ ≈ α + δ ω β.(δ的一阶) 注意:如果考虑B1/B0 ≈ θ, 总磁场与z轴的夹角,那么上式其实就是σn的本征矢. 类似地: φ? =

1 √ ω2 + δ2 ?δ ω ≈ ? δ ω α + β 物理是这样的:t = 0, χ(0) = α,突然加上H , 将初态在新哈密顿量本征态下展开: χ(0) = α 展开 = c1φ+ + c2φ? 然后开始演化 χ(t) = c1φ+e?i λ1t ? h + c2φ?ei ?λ2t ? h 初始条件: c1 = φ+ + ・ α = ω √ ω2 + δ2 ≈

1 c2 = φ+ ? ・ α = ?δ √ ω2 + δ2 ≈ ? δ ω

6 处于α的几率幅 cα = α+ χ(t) = c1e? iλ1t ? h + c2( ?δ ω0 )e ?iλ2t ? h ≈ e? iλ1t ? h (1 + δ2 ω2 eiωt ) =

1 +

2 δ2 ω2 cos(ωt) 此公式适用于长时间. 在时间短暂时间范围内, |cα|2 =

1 ? δ2 t2 (准确到δ2 ) 与下面微扰方法一致. (2)微扰:H = ? hδσx, 由一级微扰方法,自旋向下为的概率幅为 c =

1 i? h t

0 eiωt H?,+dt , 又H?,+ = ?|H |+ = ? hδ, 所以c = δ ω (1 ? eiωt ), c2 = 4δ2 ω2 sin2 ω

2 t, 此式只适用于c ≈ 0的情况. 在此情况下,c ≈ δ2 t2 . 自旋向上的几率为P =

1 ? 4δ2 ω2 sin2 ω

2 t ≈

1 ? δ2 t2 . 与前面计算一致. 6. 氢原子处于基态,受到脉冲电场 (t) = 0δ(t)的作用.计算它跃迁到各个激发态的几 率. 解:自由氢原子的哈密顿量记为H0.以 的方向为z轴,则微扰为 H = e (t) ・ r = e 0zδ(t). (4) 初始条件为 ψ(t = 0? ) = ψ100(r) → Cn(0? ) = δn1 (5) t时刻处于n = (n, l, m)态的几率幅为 Cn(t) =