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2017 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准(高一) 第1页(共3页) 2017年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案和评分标准 (高一年级) 说明: 1.

评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;

其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1.已知非空集合 , ,且 ,则实数 的取值范围是 . 2.已知正项等比数列 满足 ,则 的最小值为

196 . 3. 设函数 ( R) , 其中 为互不相同的非零整数, 且,,

则

18 .

4 . 设的内角的对边分别是,若,则.5.设函数 , ,则该函数图象上整点的个数为

3 .

6 . 已知为的外心,为的中点,若,,

则.7.已知正实数 满足 ,则 的最小值为 . 8.设R,则 的最小值为 . 9.若关于 的方程 恰有两个不同的实数根,则实数 的取值范围为 . 10.将与

70 互素的所有正整数从小到大排成数列,这个数列的第

2017 项为

5881 .

二、解答题(本题满分

60 分,每小题

20 分. ) 11.求实数 的取值范围,使不等式 对 恒成立. 解设,则 , ,

5 分2017 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准(高一) 第2页(共3页) 故原不等式可化为 ,即10 分记,可知 在 上单调递减,故.若,则当 时,不等式①不成立,不符合题设条件.15 分若或,则对一切 , 与 同号,可知不等式①恒成立,符合 题意. 因此,所求实数 的取值范围是

20 分12.已知函数 , ,其中 . (1)设 ,判断函数 的单调性;

(2)如果函数 和 的图象恰有三个交点,求 的取值范围. 解(1) 函数的图象为抛物线在右侧的部分和抛物线在左侧的部分构成,两个分支的函数图象在 处是连续的. 两条抛物线的对称轴分别为 和 ,又 ,故.5分①若 ,即时,则在上递减,在 上递增;

②若 ,即 时,则在上递减,在 上递增,在 上递减,在 上递增. ③若 ,即 时, 在 上递减,在 上递增.

10 分(2) 如果函数 和 的图象恰有三个交点, 则函数 恰有三个零点. 结合 (1) 的结论可知应该有: 且,,

.15 分由得,解得 ( 舍去) ,此时 , , 符合要求. 因此,20 分2017 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准(高一) 第3页(共3页) 13.记数列 的前 项和为 ( ) ,其中 (1)求;

(2)若 ,求 取得最小值时对应的 的值. 解(1) . 记 ,则 ,

5 分又,,

故.10 分(2)注意到 ,故 取得最小值时必有 为奇数. 而.令,即 ,得15 分 又由 知 ,所以 ;

同理,令 ,即 ,得 ,所以 . 因此,当 取得最小值时,20 分