PDF《第四章 热传导方程》

二、扩散方程 在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程.例如气体的扩散,液体的渗透,半 导体材料中的杂质扩散等.下面,我们来建立所考察介质扩散过程所满足的偏微分方 程. 由于扩散方程和热传导方程的导出极为类似,我们不重复这一过程.只要将扩散 过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理规律作个类比,扩散方程就不难写 出. 在推导热传导方程的过程中起基本作用的是Fourier定律与热量守恒定律,即方 程(1.1)与方程(1.3)式.在考虑扩散过程时,我们碰到的是相应的扩散定律与质量守恒 定律,即dm = ?γ(x, y, z) ?U ?n dSdt, (1.10) t2 t1 S γ ?U ?n dSdt = ? [U(t2, x, y, z) ? U(t1, x, y, z)]dxdydz, (1.11) 其中U表示扩散物质的浓度,dm表示在无穷小时段dt内沿法线方向n经过一个无穷小面 积dS的扩散物质的质量,式中γ(x, y, z)为::: 扩::: 散:: 系::: 数,其它符号与(1.1)、(1.3)中的含义 相同.

3 将(1.10)、(1.11)与(1.1)、(1.3)比较,发现其形式是非常类似的.在考察热传导方 程中引入的量Q、u、k分别相应于扩散过程中的量m、U、γ,而出现在(1.3)式中的因 子νρ在扩散问题中相应于常数1.于是,扩散方程可写为 ?U ?t = ? ?x γ ?U ?x + ? ?y γ ?U ?y + ? ?z γ ?U ?z . (1.12) 如果γ是常数,记γ = c2 ,则扩散方程(1.12)就化为与热传导方程(1.6)完全相同的形式. 1.2 定解条件 从热力学角度来看,如果知道了所考察介质在边界上的温度状况(或热量交换状 况)和介质在初始时刻的温度,就可以确定介质在以后各时刻的温度.这样热传导方 程最自然同时也最基本的一个定解问题就是在已给的初始条件和边界条件下求问题的 解. 自然地,初始条件的提法为 u(0, x, y, z) = ?(x, y, z), (1.13) 其中?(x, y, z)为已知函数,表示介质在t = 0时刻的温度分布. 下面我们考察边界条件的提法. 类似于

第三章

第三节,我们分三种情况进行讨论: 第一类边界条件 最简单的情形为介质的表面的温度是已知的,这种条件的数学表达 式为 u(t, x, y, z)|(x,y,z)∈S = g(t, x, y, z), (1.14) 其中S 表示介质的边界,g(t, x, y, z)是定义在[0, T] * S 上的已知函数,这里T是一给定 的正数.这种边界条件称为热传导方程的::: 第:: 一::: 类::: 边:: 界::: 条::: 件,又称: Dirichlet边:: 界::: 条::: 件. 第二类边界条件 我们再考察另一种情况:在介质的表面上知道的不是它的表面温度 而是热量在表面各点的流速,也就是说在表面各点的单位面积上在单位时间内所流过 的热量Q是已知的.根据Fourier定律 dQ = ?k ?u ?n dSdt 可知,这种边界条件实际上表示温度u在表面上的法向导数是已知的,即?u ?n (x,y,z)∈S = g(t, x, y, z), (1.15)

4 其中 ?u ?n 表示u沿边界S 上的单位外法线方向n的方向导数,而g(t, x, y, z)是定义在[0, T]* S 上的已知函数.这种边界条件称为热传导方程的::: 第::: 二:: 类::: 边::: 界:: 条::: 件,又称: Neumann边::: 界:: 条::: 件. 第三类边界条件 考察介质放在另一种介质,不妨称为介质1中的情形:我们能测量 到的只是与所考察介质接触处的介质1的温度u1,它与所考察介质表面上的温度u往往 并不相同.在u1已知时研究边界条件的提法还必须利用另一个热传导实验定律,即牛 顿定律:从所考察介质流到介质1中的热量和两者的温度差成正比,即dQ = γ(u ? u1)dSdt, (1.16) 这里的比例常数γ称........