PDF《数学杂志》

1 2 e1,m+3 + em+3,m+2,

1 2 e1,m+n+2 + em+n+2,m+2}. 设线性映射 f f : Hm,n → A , h → f(h), ?h ∈ Hm,n, 其中 f(ui) = e1,i+1 ∈ A0, f(vi) = ei+1,m+2 ∈ A0, f(z) = e1,m+2 ∈ A0, f(wj) =

1 2 e1,m+2+j + em+2+j,m+2 ∈ A1, ?i = 1,m, j = 1,n, 则f是一个李超代数同构. 引理 2.4 令F上B=B0 ? B1 是一个线性李超代数, 其中 B0 = spanF{e12,e1,n+1}, B1 = spanF{e1,n+2, e2,n+2,en+1,n+2}. 设线性映射 g g : Hn → B, h → g(h), ?h ∈ Hn,

504 数学杂志Vol.

38 其中 g(vi) = e1,i+1 ∈ B0, g(z) = e1,n+2 ∈ B1, g(wi) = ei+1,n+2 ∈ B1, ?i = 1,n, 则g是一个李超代数同构.

3 主要结果及证明 记Aut(H) 为Heisenberg 李代数 H 的自同构群. 定理 3.1 设d∈Mn+2(R) 为可逆的对角矩阵, x ∈ H. 令α=d+x, 则α可逆. 设映射 σα : H → H, h → σα(h), ?h ∈ H, 其中 σα(h) = αhα?1 , 则σα 是H的一个自同构, 称为 H 的内自同构. 令G是H的所有内 自同构构成的集合, 则G是Aut(H) 的子群, 称为 H 的内自同构群. 证 易知 σα 是双射且是线性变换. 由已知得 α?1 α = e, 其中 e 是单位矩阵. ?h1, h2 ∈ H, 可得 σα([h1, h2]) = σα(h1h2 ? h2h1) = α(h1h2)α?1 ? α(h2h1)α?1 , [σα(h1), σα(h2)] = σα(h1)σα(h2) ? σα(h2)σα(h1) = α(h1h2)α?1 ? α(h2h1)α?1 , 因此 σα([h1, h2]) = [σα(h1), σα(h2)]. 故σα 是H的一个自同构. ?σα, σβ ∈ G, h ∈ H, 可得 σασβ(h) = (αβ)h(αβ)?1 = σαβ(h), 因此 σασβ = σαβ ∈ G. ?σα ∈ G, h ∈ H, 可得 σασα?1 = αα?1 h(α?1 )?1 α?1 = h, 因此 σα?1 = σ?1 α ∈ G. 故G是Aut(H) 的子群. 定理 3.2 令F={f ∈ HomR(H, R) | f(y) = 0, ?y ∈ δ[1] (H)}, 其中 δ[1] (H) = [H, H]. ?f ∈ F, 设映射 ψf : H → H, h → ψf (h), ?h ∈ H, 其中 ψf (h) = h + f(h)e1,n+2, 则ψf 是H的一个自同构, 称为 H 的中心自同构. 令S是H的所有中心自同构构成的集合, 则S是Aut(H) 的子群, 称为 H 的中心自同构群. 证 易知 ψf 是双射且是线性变换. ?h1, h2 ∈ H, 可得 ψf ([h1, h2]) =[h1, h2] + f([h1, h2])e1,n+2 = [h1, h2], [ψf (h1), ψf (h2)] =[h1, h2] + [h1, f(h2)e1,n+2] + [f(h1)e1,n+2, h2] + [f(h1)e1,n+2, f(h2)e1,n+2] = [h1, h2], 因此 ψf ([h1, h2]) = [ψf (h1), ψf (h2)], 故ψf 是H的一个自同构. ?ψf , ψg ∈ S, h ∈ H, 可得 ψf ψg(h) = h + (g(h) + f(h))e1,n+2 = ψf+g(h), No.

3 刘蕾等: Heisenberg 李 (超) 代数的自同构群

505 因此 ψf ψg = ψf+g ∈ S. ?ψf ∈ S, h ∈ H, 可得 ψf ψ?f (h) = (h ? f(h)e1,n+2) + f(h)e1,n+2 = h, 因此 ψ?f = ψ?1 f ∈ S. 故S是Aut(H) 的子群. 定理 3.3 令γ=e1,n+2 + e2,n+1 en+2,1. 设映射 w0 : H → H, h → w0(h), ?h ∈ H, 其中 w0(h) = ?γhT γ, 则w0 是H的一个自同构, 称为 H 的对合自同构. 令W={ι, w0}, 其中ι是恒等变换, 则W是Aut(H) 的子群, 称为 H 的对合自同构群. 证 易知 w0 是双射且是线性变换. 由已知得 γ2 = e, γT = γ, 其中 e 是单位矩阵. ?h1, h2 ∈ H, 可得 w0([h1, h2]) = w0(h1h2 ? h2h1) = ?γhT

2 hT

1 γ ? (?γhT

1 hT

2 γ), [w0(h1), w0(h2)] = [?........