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0 ρ2 θ dθ, (2.10) No.

6 郑高峰等: 几个关于极坐标的 Bonnesen 型不等式

1121 其中 m = max{max [0,2π] |?ρθθ ρ |, 1}, 并且该不等式取等当且仅当 γ 为圆周. 证 考虑 ρ2 +

1 m+ε ρ2 θ 的值域, 其中 ε 为任意正数. 若(ρ2 +

1 m + ε ρ2 θ)θ = 2ρρθ +

2 m + ε ρθρθθ = 0. (2.11) 由于 m + ε > max |?ρθθ ρ |, 故ρθθ + (m + ε)ρ > 0. 因此, 由(2.11) 式得到 ρθ = 0, 此时有 ρ2 +

1 m+ε ρ2 θ = ρ2 , 即ρ2 +

1 m+ε ρ2 θ 在极值点处均等于 ρ2 . 由于 {O;

ρ(θ)} 是以包含 γ 的最小圆环的中心为原点, 故ρ([0, 2π]) = [rin(O), rout(O)]. (2.12) 因此有 ρ2 +

1 m + ε ρ2 θ [0, 2π] = [rin(O), rout(O)]. (2.13) 因此由引理 2.2, g( ρ2 +

1 m + ε ρ2 θ) = L ρ2 +

1 m + ε ρ2 θ ? A ? π(ρ2 +

1 m + ε ρ2 θ) ≥ 0. (2.14) 关于 θ 在[0, 2π] 上积分, 再利用 L = 2π

0 ρ2 + ρ2 θ dθ, 2A = 2π

0 ρ2 dθ 和m+ε>1, 得到 L2 ? 4πA ≥ L 2π

0 ρ2 +

1 m + ε ρ2 θ dθ ? 4πA ≥ π m + ε 2π

0 ρ2 θ dθ. (2.15) 由ε的任意性可得 (2.10) 式. 若γ为圆周, 则ρ(θ) ≡ 0, 则(2.10) 式两边恒为 0, 故取等. 反过来, 若(2.10) 式 取等, 则由被积函数的连续性, g( ρ2 +

1 m ρ2 θ) ≡ 0, ? ρ2 +

1 m ρ2 θ ∈ [rin(O), rout(O)], 因此 rin(O) = rout(O), 故γ为圆周. 推论 2.6 若ρ(θ) 是按上述定义在 C2 闭凸曲线 γ 上的极坐标, k 为曲线 γ 的曲率, 且有0≤k 0. 若√22