PDF《县窗园圃罾》

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0 1 0年第 7期高考数 学高分之路 《 数理天地》 高中版 县窗园圃罾圆锥曲缚的崆质王户世 ( 陕西省户县二中

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0 7 )

0 9年 宁夏 , 海南 卷(文) 第20题 : 已知 椭圆C的中心为直角坐标系的原点,焦点在 轴上,它的 一个顶点到 两个焦点 距离分别是7和

1 .

(

1 )求椭圆C的方程.(2)P为椭 圆上 的动点,M为过 P 且垂直于.17轴的直线上的点,1L一P(e为椭圆的离心率),求点M的轨 迹 方程 , 并说明轨迹 是什么曲 线. 答案:(1)椭圆C的方程为+等一

1 . (

2 ) M 点轨迹方程为y=- 一4-(一4 ≤ ≤

4 ) , 轨 迹是 平行于轴的两条 线段.过程 略. 透过现象 看本质,本题第(2)问 是针对具体的椭 圆,不妨将 这个椭圆推广到 任意椭圆及 双 曲线 , 得到以下 的性质1P为椭圆+一1上 的动点,M为过P且垂直于z轴的直线上的点,若

1 L : = = 詈(c为椭圆的半焦距),则M点的轨迹A-程为一± ( .≤ z≤ n ) . 性质2P为双曲线C:2T一/一上的.21动点,M为过P且平行于z轴的直线上的点,若]一(其中c 为双曲线的半焦 则M点的轨迹方程为z一± .

1 . 性 质的应 用例1已知 P是椭圆x z T yZ 一 1上 半部分一动点,M为过P且与轴垂直的直线上一点,若1L一_詈_,M(,),求.y一2的最值.解由题 设,知a一

5 , b一4, 所以c一3,一詈,由性 质1,知动 点M的轨 迹为 ― a

5 ―

2 0 , z∈ [ 一5,5],3一一一'z∈ L 一''即如 图 1的线 段AB, 其中A(一s,),B(s,挈).令一2 x一6,将b看作平 行直线束 z : _ -2 +b的纵 截距,由图

1 知 当直线束过 A点时 厂

0、、、 一.一,,

图1截距最大,过B点时截距最小,将A、 B点坐 标代 入一2x― b , 得b…一2O+

1 0 : : =

5 O , 一了2O一10萼.例2已知点A(o,5),P是双曲线蠢一 等一1右 支上一动点,F为右焦点,M为过P且与z轴平行的直线上一一号 , 求lMA l + } MF l 最 小值. 解 由题 设,知n一4. b一3. 所以 c 一5,÷一,F(5,o),D由性 质2,知动点M的轨迹为直线 Z : L z― a b _

1 2 . 【 、 、 \ 《一;

'0,,

/ 图2如图2,易知当M是AF 与l交点时 , l MA l + I MF l 最小 , 最 小值 为lAFl一~/5.+5一5√2,故lMA l +l MF l 最小值为

5 √

2 .

2 . 反思上述 性质

1 和 2的本质是 : 由椭 圆( 双曲线) 上动 点P, 决定了线段 ( 直线) 上 的动点 M , 反之由线 段(直线)上 的动 点M能否决定椭圆( 双曲 线) 上 动点 P 呢? 回答 是肯 定的,请看 : ( 下转19页 ) ・

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2 O l 0年第

7 期 高考数学高分之路 《 数理天地 》 高 中版 线与轴相交于点 P, 则点 P分有向线段P P 所成的比的值为.(08年 重庆卷 ) 分析 此题 考查 利用 平面向量共 线 定理 处 理分有 向线段所成 比问题. 向量共 线定理 : 两向量 a ( a ≠

0 ) , b共线 存在唯一实数 使得 6= = = . 解设直线 P P 与.72轴相 交于点 P( z,

0 ) , 因为 P 、 P 、 P三点 共线 , 所以P. P, P P 共线,即存 在实 数使得PP―PP,即(z+

1 , 一2)一 ( 5一,6),r.1解得j一一'i32一 一4.

1 所以点 P分有向线段P 所成的比 的值为一÷. o

6 . 平面 向量基 本 定理及 其 线性 表示例6在平行四边形中,E和F分别是边CD和 B C的 中点 , 且A C= = = AE+ AF, 其中,∈R, 则+一.(09年安徽 卷) 分析 平面向量 基本定理表明,同一 平面内的任 一 向量都 可 以表 示为其他 两个不 共线 向量的线性组合.解设B C ― b , B A ― a , 则――+1―― ― , -

1 ― AE― b 一― 口,AF一÷b一口 , A C― b ―a , 厶厶――n代入A C ― AE+ AF, 得一一-2, 所以+一÷.