PDF《第五章：随机变量的收敛性》

1 A A A n Binomial n p n np n np p = = ? E V , 所以 ( )

1 , A A p p n n p n n n ? ? ? ? = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? E V , 对0ε?>

,根据 Chebyshev 不等式,有()()2210AAnppnnpnnnεεε????????? ? ? ? ? V P . 例:5.3 ? 令?直观: 集中在0处, 收敛到0 ? 依概率收敛: ( ) ( )

2 0 n n X X ε ε ? >

≤ V P ( ) ~ 0,1 n X N n n X (Chebyshev不等式)

2 1 n ε = n X ( ) lim

0 0 n n X ε →∞ ∴ ? >

= P 例:续?依分布收敛:令F表示0处的点分布函数,Z表示标准正态 分布的随机变量 ( ) ( ) ~ 0,1 n ~ 0,1 n n X N n X N → 0, n n n F t X t nX nt Z nt as n P P P 0, for t <

1, n n n F t X t nX nt Z nt as n P P P 0, for t >

0 0 n n F t F t for all t X → ≠ ∴ ≈

0 t F 但是 不是 的=连续点 ( ) ( )

1 0,

0 0

1 2 n for t F F = = ≠ = ( )

0 0

1 0 t F t t <

? = ? ≥ ? 收敛的性质 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5.5 , , , . . . . . n n P P P n n n n qm qm qm n n n n n n n n P P P n n n n n n n n P n X X Y Y g a X X Y Y X Y X Y b X X Y Y X Y X Y c X X Y c X Y X c d X X Y Y X Y XY e X X Y c X Y cX f X X g ?? → ?? → + ?? → + ?? → ?? → + ?? → + ?? → ?? → ?? → ≈ ≈ ≈ ?? → 定理: 是机量, 是函如果 ,那么 如果 ,那么 如果 ,那么 如果 ,那么 如果 ,那么 如果 ,那么 设随变连续 数,,

,,

,()() . . P n n n X g X g X X g X g X ?? → ≈ ≈ 如果 ,那么 弱大数定律(WLLN) ? 独立同分布(IID)的随机变量序列 , 方差 ,则样本均值 依概率收 敛于期望 ,即对任意 ? 称为的一致估计(一致性) ? 在定理条件下,当样本数目n无限增加时,随机样本均值 将几乎变成一个常量 ? 对样本方差呢?依概率收敛于方差 ( ) i X μ = E ∑ = = n i i n X n X

1 1 μ ( ) lim

0 n n X P μ ε →∞ ? >

=

0 ε >

n X ( )

2 i X V σ = <

∞

1 2 , ..., n X X X ( ) ( )

2 2

2 0, n n X X as n σ μ ε ε ε V P 证明:根据Cheyshev不等式 μ

2 σ ( )

2 2

2 2

2 2

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 n n n n n n n i i i i i i n n S X X X nX X X n n n n n = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∑ ∑ ∑ 根据大数定律, ( )

2 2

1 1 n P i i i X X n = ?? → ∑ E 又1,

1 n as n n → → ∞ ? 所以 ( )

2 2

1 1

1 n P i i i n X X n n = ? ? ? ? ?? → ? ? ? ? ? ? ? ? ∑ E (如果 , P P n n X X Y Y ?? → ?? → ,则PnnXYXY ?? → ) 同样,根据大数定律, P n X μ ?? → ,由于 ( )

2 g y y = 为连续函数, 所以

2 2 P n X μ ?? → ,

2 2

1 P n n X n μ ?? → ? 所以 ( )

2 2

2 2 P n i S X μ σ = ?? → ? = E 样本方差依概率收 敛于分布的方差 强大数定律(SLLN) ? 独立同分布(IID)的随机变量序列 , 方差 ,则样本均值 几乎处处收 敛于期望 ,即对任意 ( ) i X μ = E ∑ = = n i i n X n X

1 1 μ ( ) lim

0 n n X μ ε →∞ ? >

= P ( )

2 i X V σ = <

∞

1 2 , ..., n X X X μ

0 ε >

例:大数定律 ? 考虑抛硬币的问题,其中正面向上的概率为p,令 表示单 次抛掷的输出(0或1).因此 ? 若共抛掷n次,正面向上的比率为 .根据大数定律, ? 但这并不意味着 在数值上等于p ? 而是表示当n很大时, 的分布紧围绕p ? 令 ,若要求 ,则n至少为多少? ? 解: i X ( ) ( )

1 i i p X X = = = P E n X P n X p ?? → n X n X

1 2 p = ( ) 0.4 0.6 0.7 n X ≤ ≤ ≥ P ( ) ( ) 0.4 0.6 0.1 n n X X μ P P

2 1 2,

1 1

4 n n X p X n p p n n σ E V

2 1 2,

1 i i X p X p p μ σ E V ( )

2 1

25 1 0.1

1 1 0.7

4 0.1 n X n n μ * P