PDF《数学杂志》

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2016 ) No.

2 数学杂志J. of Math. (PRC) 弱交换空间的极大维数 王淑娟, 刘文德 (哈尔滨师范大学数学科学学院, 黑龙江 哈尔滨 150025) 摘要: 本文研究了特征

0 代数闭域上弱交换空间的极大维数. 利用了矩阵相似变换的方法, 获 得了在共轭意义下极大弱交换空间的分类结果, 推广了 Schur 定理的结果. 关键词: 弱交换;

极大维数;

相似变换 MR(2010) 主题分类号: 17B05;

17B10 中图分类号: O152.5 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2016)02-0293-05

1 有关概念及主要结果 Schur [1] 指出一般线性李代数 gl(m, F) 的Abel 子代数的极大维数, 由此可确定 Abel 李 代数 L 的忠实表示的极小维数 [2,3] .

2012 年, 本文作者采用文献 [4] 的思想确定了 n 阶矩阵 全体构成的 Jordan 代数的 Abel 子代数的的极大维数, 从而得到了有限维 Abel Jordan 代数 的忠实表示的极小维数 [5] . 本文主要目的是确定极大弱交换子空间 (定义见下一段), 从而从 另一个角度得到上述结论. 本文约定基域 F 是特征

0 代数闭域. M(n, F), M(m, n, F) 分别为所有 n, m * n 阶矩 阵构成的向量空间, J(n) 为M(n, F) 按照新的乘法所构成的 Jordan 代数. 设n(n, F) 为 所有严格上三角的 n 阶矩阵构成的向量空间, t(n, F) 为所有上三角的 n 阶矩阵构成的 向量空间. 为叙述方便, 给出以下几个定义. 设任一 n 阶矩阵 A = (aij), 称(i, j) 为元 aij 所在的位置. 定义 (i, j) <

(k, l) ?? i = k 且j <

l;

或者i <

k, 于是 A 的n2 个位 置构成了字典序. 在这个字典序下, 称矩阵 A 中第一个非零元出现的位置 (i, j) 为A的水平, 记为 lv(A) = (i, j), 称i为矩阵 A 的高度, 记为 ht(A). 设V是矩阵代数 M(n, F) 的任意子空间, 定义 lv(V ) := min {lv(A) | A ∈ V } , ht(V ) := min {ht(A) | A ∈ V } . 约定 lv(O)ht(O) = ∞, 其中 O 为零矩阵或零空间. 如果 lv(A) = (k, l) 且第 k 行为 (0,0, 1, 0,0), 那么称 A 是一个广义矩阵单位, 此时将 A 记为 Ukl. 设A, B ∈ n(n, F), 如果存在 λ ∈ F (λ 由A, B 决定), 使得 AB = λBA, 那么称 A, B 弱交换. 如果 n(n, F) 的子 空间 V 中任意两个元素都弱交换, 那么称 V 为弱交换空间. 现将主要结果及相关推论叙述如下: 定理 1.1 设V是n(n, F) 的具有极大维数的弱交换子空间. 那么 dim V = n2 /4 且(1) 若n=2m, 则V共轭于 A2m;

? 收稿日期: 2013-05-12 接收日期: 2013-06-25 基金项目:国家自然科学基金资助 (10871057;

11171055);

黑龙江省教育厅科学基金资助 (12521158). 作者简介: 王淑娟 (1983C), 女, 黑龙江哈尔滨, 博士, 主要研究方向: 李超代数.

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36 (2) 若n=2m + 1, 则V共轭于 B2m+1 或B2m+1, 其中 A2m := Span O A O O ∈ M(2m, F) | A ∈ M(m, F) , B2m+1 := Span O B O O ∈ M(2m + 1, F) | B ∈ M(m + 1, m, F) , B2m+1 := Span O B O O ∈ M(2m + 1, F) | B ∈ M(m, m + 1, F) . 定理 1.1 的证明将在下一节给出, 下面是两个重要的推论. 推论 1.2 J(n) 的极大 Abel 子代数在共轭意义下只有以下几类: A2m或B2m+1, B2m+1. 特别的, 其维数为 n2 /4 ;

当n>

3时, 一般线性李代数 gl(n, F) 的极大 Abel 子代数在共轭 意义下只有以下几类: A2m ? FI 或B2m+1 ? FI, B2m+1 ? FI. 特别的, 其维数为 n2 /4 + 1. 证设M是J(n) 的任一个 Abel 子代数. 由Abel Jordan 代数的定义可知, M 中任两 个元皆反交换. 根据 Jacobson 弱闭集定理, 不妨认为 M 为n(n, F) 的弱交换子空间. 由定理 1.1 可推得 dim M ≤ n2 /4 . 考虑到定理 1.1 中A2m 或B2m+1, B2m+1 的结构, 可知 J(n) 的Abel 子代数的极大维数不小于 n2 /4 . 于是 J(n) 的极大 Abel 子代数是 n(n, F) 的具有极大 维数的弱交换空间. 从而第一个结论正确. 易见, 当n>