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3时, gl(n, F) 的具有极大维数的 Abel 子代数必为 FI ? N(N ? n(n, F) 形式(也可参见文献 [4]). 于是迫使 N 为n(n, F) 的具有极大维数的弱交换空间. 故第二个结论 正确. 推论 1.3 两两反交换的 n 阶矩阵线性无关的最大个数为 n2 /4 . 证 设两两反交换的 n 阶矩阵线性无关的最大个数为 ?(n). 一方面, 单位矩阵一定在极 大的弱交换子空间内, 于是 ?(n) ≤ n2 /4 . 另一方面, 根据定理 1.1 中A2m 或B2m+1, B2m+1 的结构可知 ?(n) ≥ n2 /4 . 上述推论覆盖了文献 [1, 4, 5] 的结果. 同理可得下面推论: 推论 1.4 M(n, F) 的极大零乘子代数的维数为 n2 /4 .

2 相关引理 引理 2.1 n(n, F) 及其弱交换子空间在下面两种相似变换下都保持不变. (A) 将第 i 列乘以非零数 λ, 同时将第 i 行乘以 1/λ;

(B) 将第 i 列的 λ 倍加到第 j 列而第 i 列保持不变, 同时将第 j 行的 ?λ 倍加到第 i 行 而第 j 行保持不变, 这里约定 i <

j. 引理 2.2 设V是n(n, F) 的弱交换子空间. 若lv(V ) = (i, k1), 则n(n, F) 中存在广义矩 阵单位 Ui,k1 , Ui,k2 Ui,kr 以及 n(n, F) 的一个水平大于 (i, n) 的子空间 k, 使得 h 相似于 T?1 hT = FUi,k1 ? FUi,k2 FUi,kr, ? k, (2.1) No.

2 王淑娟等: 弱交换空间的极大维数

295 其中 i <

k1 <

k2 kr ≤ n 且k中每一个矩阵 X 都满足: (1) X 的第 kj 行为零, 这里

1 ≤ j ≤ r. (2) 如果 TXT?1 的第 s 行为零, 那么 X 的第 s 行仍为零. 证 由于 V ? n(n, F) 和lv(V ) = (i, k1), 所以存在矩阵 Ai,k1 ∈ V , 使得 lv(Ai,k1 ) = (i, k1), 其中 i <

k1 ≤ n. 应用引理 2.1 中两种相似变换使 Ai,k1 相似于一个广义矩阵单位 Ui,k1 . 同时, V 相似于 n(n, F) 的一个新的弱交换子空间, 仍记为 V. 易见, V 中每个矩阵都可写成 aUi,k1 + P 的形式, 其中 a ∈ F 且lv(P) >

(i, k1). 设V1 := Span{P ∈ V | lv(P) >

(i, k1)}. 于是V=FUi,k1 ? V1. 如果 lv(V1) = (i, k2), 那么存在矩阵 Ai,k2 ∈ V1, 使得 lv(Ai,k2 ) = (i, k2), 其中 i <

k1 <

k2 ≤ n. 应用引理 2.1 中两种相似变换使 Ai,k2 相似于一个广义矩阵单位 Ui,k2 . 同时, V 相似于 n(n, F) 的一个新的弱交换子空间, 仍记为 V. 注意到在这个过程中, Ui,k1 变 成了另一个与其相似的矩阵, 但其第 i 行没变, 仍记为 Ui,k1 . 这时, V 中每个矩阵都可写成 aUi,k1 + bUi,k2 + P 的形式, 其中 a, b ∈ F 且lv(P) >

(i, k2). 设V2 := Span{P ∈ V | lv(P) >

(i, k2)}. 于是 V = FUi,k1 ? FUi,k2 ? V2. 设lv(V2) = (i, k3). 重复上述过程, 经过有限步后, 得 到广义矩阵单位 Ui,k1 , Ui,k2 Ui,kr 及Vr := Span{P ∈ V | lv(P) >

(i, n)}, 使得 V = FUi,k1 ? FUi,k2 FUi,kr ? Vr. 设X是Vr 中任意一个矩阵. 由于 lv(k) >

(i, n), 所以 X 的第 i 行为零, 进而 XUi,kj 的第 i 行为零. 注意到 Ui,kj X 的第 i 行为 X 的第 kj 行. 由于 Ui,kj 都与 X 弱交换, 所以 X 的第 kj 行为零, 这里

1 ≤ j ≤ r. 故对 X 的第一个结论成立. 易见, 引理 2.1 中两种相似变换不改变 矩阵的除第 kj 以外的零行,

1 ≤ j ≤ r. 故对 X 的第二个结论成立. 证毕. 为了方便, 以下将 (2.1) 称为 T?1 hT 的广义矩阵单位分解, 简称 GMU 分解. 定理 1.1 的证明 由引理 2.2, 可得下列 GMU 分解: T?1

1 V T1 = FUi1,j11 FUi1,j1r1 ? V1, (2.2) T?1

2 V1T2 = FUi2,j21 FUi2,j2r2 ? V2, (2.3) T?1 t Vt?1Tt = FUit,jt1 FUit,jtrt ? Vt, (2.4) 其中 i1 = ht(V ) <

i2 = ht(V1)it = ht(Vt?1) <

∞ = ht(Vt). 由引理 2.2, 上面出现的广义矩阵单位的水平 第一个位置的元素不会出现在第二个位置, (2.5) 因此 r1 ≤ n ? i1 ? (t ? 1), r2 ≤ n ? i2 ? (t ? 2), rt?1 ≤ n ? it?1 ? 1, rt ≤ n ? it,