PDF《在一个游戏问 题 的解 决中体验模式的应用》

2 个数之和等于第

3 个数. 于是猜想:当a + b = c 时,(a,b,c)是无解模式. 然而遗憾的是,该猜 想的结论并不正确. 事实上,(3,6,9)便是一个反 例. 看来,我们只能退一步,先考察较小范围的无解 模式特征. 当3个数互不相同,2 个数之和等于第

3 个数,且最小数为

1 时,我们发现有如下的无解模式: (1,2,3),(1,4,5),(1,6,7),(1,8,9),(1,10, 11),?? 根据其中的规律,不难得到下面的结论: 定理1 当n∈N +时,(1,2n,2n + 1)是无解模 式. 证明 当n=1时,结论成立,即(1,2,3)是无 解模式. ・

4 3 ・ 中学教研(数学)

2018 年第

1 期 万方数据 假设当 n≤k(其中 k∈N +) 时,结论成立,即(1,2n,2n + 1)是无解模式. 当n=k+1时,扑克牌数为(1,2k + 2,2k + 3). 1)若对手在第

1 列取,取后为(0,2k + 2,2k + 3),则(0,2k + 2,2k + 2)即为无解模式. 2)若对手在第

2 列取,取后为(1,2k +

2 -m, 2k + 3),其中 1≤m≤2k + 2,此时: ①当m=2k +

2 时,取完第

3 列,(1,0,0)即为 无解模式;

②当m=2k +

1 时,第3列留

1 张,(1,1,1)即 为无解模式;

③当1≤m≤2k,且m为偶数时,记m=2m1 , 其中 m1 ∈N +,我方只需在第

3 列取 m = 2m1 张, (1,2(k - m1 + 1),2(k - m1 + 1) + 1)即为无解模 式;

④当1≤m≤2k,且m为奇数时,记m=2m1 + 1,其中 m1 ∈N,我方只需在第3 列取 m +

2 = 2m1 +

3 张,(1,2(k - m1 ) + 1,2(k - m1 ))即为无解模式. 3)若对手在第

3 列取,取后为(1,2k + 2,2k +

3 - m),其中 1≤m≤2k + 3,此时: ①当m=1时,(0,2k + 2,2k + 2)即为无解模 式;

②当m=2k +

3 时,取完第

2 列,(1,0,0)即为 无解模式;

③当m=2k +

2 时,第2列留

1 张,(1,1,1)即 为无解模式;

④当2≤m≤2k + 1,且m为偶数时,记m=2m1 ,其中 m1 ∈N +,我方只需在第

2 列取 m = 2m1 张,(1,2(k -m1 + 1),2(k -m1 + 1))即为无解模 式;

⑤当2≤m≤2k + 1,且m为奇数时,记m=2m1 + 1,m1 ∈N +,我方只需在第

2 列取 m -

2 = 2m1 -

1 张,(1,2(k - m1 + 1) + 1,2(k - m1 + 1))即 为无解模式. 综上所述,当n=k+1时,无论对手如何应对, 我方均可控制无解模式,即当 n = k +

1 时,结论也 成立. 根据数学归纳法原理,待证的结论成立. 当3 个数中

2 个数之和等于第

3 个数,且其中 有一个数为

2 时,我们发现有如下的无解模式:(2, 0,2),(2,1,3),(2,4,6),(2,5,7),(2,8,10),(2,9, 11),(2,12,14),(2,13,15),??不难发现该类无解 模式的一般形式是:(2,4k,4k + 2)或(2,4k + 1,4k + 3),其中 k∈N(证明略). 依照这样的思路,我们还可 以推广出更多类的无解模式(此处略).

3 价值分析 我们将上述问题应用于数学教学,可以让学生 经历数学建模的一般过程. 更重要的是,在该问题 的解决中,需要充分利用模式的作用. 由此,一个模 式实际上就是一个较为复杂的思维过程所得结果 的简单呈现,而这个结果又成为思维链中的一环. 由于我们的"深层次" 思维可以应用这些模式,只 需关注"环"与"环"之间相扣的方法,而暂时隐藏 了"环"内部思维的细枝末节,这就使得我们的"深 层次"思维能够较为顺畅地进行. 在这里"模式"就 成了一种"思维组块",保证了我们的思维能够更 简捷、更清晰、更深入. 一般认为"数学是关于模式的科学". 事实上, "模式"存在于许多数学问题的解决过程中,学生 解决数学问题的能力在很大程度上取决于其识别、 建构、应用恰当模式的能力. 从这个层面上来看,该 问题的解决过程已经在一定程度上体现了数学学 科思维的一般形态,可以在学科思维这一层面上有 效促进学生数学核心素养的形成和发展. 在上述问题的解决中,还需要不断地经历模式 猜想、模式否定(证伪)、重新建构模式并加以证明 (证实)的过程. 这种从证伪到证实的思维过程,正 是数学学科发展乃至一般人类知识产生和发展的 基本规律. 正如喻平教授指出的:"证实性知识与 证伪性知识相结合,是实现知识迁移和知识创新的 必然选择. "而"发展学生的学科核心素养,关键是 要走出'知识理解'的围栏,由'知识理解'向'知识 迁移'过渡,再向'知识创新'提升" [1] . 因此,上述 问题的解决过程在"知识迁移""知识创新"层面上 也能很好地促进学生数学核心素养的形成和发展. 参考文献[1] 喻平. 发展学生学科核心素养的教学目标与 策略[J]. 课程・ 教材・ 教法. 2017,37(1): 48- 53. [2] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程 标准(实验) [M]. 北京:人民教育出版社, 2003. [3] 李艺,钟柏昌. 谈"核心素养"[J]. 教育研究, 2015,428(9):17- 23. ・