PDF《数学杂志》

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35 (

2015 ) No.

6 数学杂志J. of Math. (PRC) 高阶复线性微分方程解的角域增长性 龙见仁 (贵州师范大学数学与计算机科学学院, 贵州 贵阳 550001) 摘要: 本文研究了高阶复线性微分方程解在角域上的增长性问题. 利用 Nevanlinna 理论和共 形变换的方法, 获得了一些使得方程非平凡解在角域上有快速增长的系数条件, 这些结果丰富了复方 程解在角域上增长性的研究. 关键词: 复微分方程;

解析函数;

迭代 n 级;

角域;

单位圆 MR(2010) 主题分类号: 34M10;

30D35 中图分类号: O174.5 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2015)06-1533-08

1 引言及主要结果 我们通过单位圆上复线性微分方程解的性质去研究复线性微分方程的解在复平面的一 个角域上的增长性质, 为此假设读者熟悉 Nevanlinna 理论的基本结果和标准的记号 (参看文 [1C3]). 在本文中, 我们用 ? = {z : |z| <

1} 表示单位圆, C 表示复平面, 用ρ(f) 和ρC(f) 分 别表示 ? 和C上亚纯函数 f 的增长级, 其定义如下: ρ(f) = lim sup r→1? log+ T(r, f) log

1 1?r , ρC(f) = lim sup r→∞ log+ T(r, f) log r , 其中 log+ x = max{log x, 0}. 如果 f 是?或C上的解析函数, 通常我们也用 ρM (f) 或ρC,M (f) 分别表示 f 的增长级, 其定义如下: ρM (f) = lim sup r→1? log+ log+ M(r, f) log

1 1?r , ρC,M (f) = lim sup r→∞ log+ log+ M(r, f) log r , 其中 M(r, f) = max |z|=r |f(z)| 为?或C上的最大模. 用T(r, f) 和log+ M(r, f) 去定义解析函 数的增长级, 在复平面上有 ρC(f) = ρC,M (f), 但是对单位圆上的解析函数, 两者未必相同. 假设f是?上的解析函数, 利用文 [3, V. 13], 他们具有如下的大小关系: ρ(f) ≤ ρM (f) ≤ ρ(f) + 1. 下面的例子表明 ρ(f) = ρM (f) 是可能的. 假设 f(z) = exp{(

1 1?z )λ }, 其中 λ >

1 是一个常数, 则通过计算有 ρ(f) = λ ? 1, ρM (f) = λ. ? 收稿日期: 2015-04-16 接收日期: 2015-06-02 基金项目: 贵州省科学技术基金 (黔科合 J 字[2015]2112 号);

国家自然科学基金资助 (11171080). 作者简介: 龙见仁 (1981C), 男, 苗族, 贵州锦屏, 副教授, 主要研究方向: 复分析.

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35 对于 ? 上快速增长的亚纯函数, 我们通常使用迭代 n 级去刻画他们的增长快慢. 假设 f 是?上亚纯函数, 其迭代 n 级定义为 ρn(f) = lim sup r→1? log+ n T(r, f) log

1 1?r , 其中 n ≥

1 是整数, log+

1 x = log+ x, log+ n+1 x = log+ log+ n x. 如果 f 是?上的解析函数, 则 迭代 n 级也可以用最大模 M(r, f) 来定义 ρM,n(f) = lim sup r→1? log+ n+1 M(r, f) log

1 1?r . 对n=2, ρ2(f) 和ρM,2(f) 通常被称为 f 的超级. 假设 f 是?上的解析函数, 从增长级与迭 代n级的定义, 显然有 ρ1(f) = ρ(f) ≤ ρM (f) = ρM,1(f) ≤ ρ1(f) + 1. 另一方面, 对?上解 析函数 f, 利用文 [4, 命题 2.2.2] 中不等式 T(r, f) ≤ log+ M(r, f) ≤

1 + 3r

1 ? r T(

1 + r

2 , f), 有当 n ≥ 2, ρn(f) = ρM,n(f). 利用 ? 上特征函数 T(r, f), 通常我们把 ? 上的亚纯函数分成下面三类: (i) 有界型: 当r→1? , T(r, f) = O(1);

(ii) 有理型: 当r→1? , T(r, f) = O(log

1 1?r ), 且f不属于 (i);

(iii) ? 上可允许的: lim sup r→1? T(r, f) log

1 1?r = ∞. 对复平面 (单位圆) 上复微分方程解的研究一直是复分析研究的热点之一, 很多研究者在 此方面取得了很多的研究成果, 例如参看文献 [4C9] 及他们的相关参考文献. 然而复微分方程 解在角域上的性质很少有相关的研究成果. 本文通过对单位圆上复微分方程解的性质的分析, 利用共形映射理论去研究复微分方程解在角域上的增长性质. 为此先回顾单位圆上复线性微 分方程解的一些相关性质. 考虑下面的微分方程: Ak(z)f(k) + Ak?1(z)f(k?1) A1(z)f + A0(z)f = 0, (1.1) 其中 A0(z) ≡ 0, A1(z)Ak(z) 是?上的解析函数.