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1 的假设下, 吴在文 [14, 定理 1.18] 中仅得到方程 (1.1) 的每一个非平凡解 f 满足 ρ?(f) = ∞. 为了陈述下面的定理 2, 我们也需要下面的一些记号和定义. 假设集合 H ? [0, ∞), 其上、 下密度分别被定义为 dens(H) = lim sup r→∞ m(H ∩ [0, r)) r , dens(H) = lim inf r→∞ m(H ∩ [0, r)) r , 其中集合 G ? [0, ∞) 的Lebesgue 线性测度是 m(G) = G dt. 另外约定: exp0(r) = r, exp1(r) = exp(r), expn+1(r) = exp(expn(r)), n ≥

1 是整数. 定理

2 假设 F 是一个满足 dens ({|z| : z ∈ F ? ?}) >

0 的复数集合, 假设 A0(z), A1(z), ・ ・ ・ , Ak(z) 在?(α, β) = {z : α <

arg z <

β} 内解析, 其中

0 <

β ? α <

2π, 使得对某些常数

0 ≤ γ <

λ, ? >

0, 当|z| = r → ∞, z ∈ F, 有T0(r, ?ε, A0) ≥ expn?1{λ( rω η )? } 及T0(r, ?, Aj) ≤ expn?1{γ( rω

2 )? }, j = 1, 2,k, 其中 ω = π β?α , η = ε β?α , ε ∈ (0, β?α

2 ). 则方程 (1.1) 的每一个非平凡解 f 满足 ρn,?(f) = ∞, ρn+1,?(f) ≥ ?ω.

2 定理的证明 这一节我们将给出定理的证明. 为了这个目的, 需要一些辅助结果. 第一个辅助结果来自 文[2, p. 88]. 引理

1 假设 ζ(z) = (ze?iθ0 )ω ?

1 (ze?iθ0 )ω +

1 , (2.1) 其中 θ0 = α+β

2 , ω = π β?α . 则ζ(z) 是一个将 ?(α, β) = {z : α <

arg z <

β} 映射到单位 圆?={ζ : |ζ| <

1} 的共形映射, 且满足 ζ(eiθ0 ) = 0. 进一步有, 在变换 ζ(z) 作用下, ?ε = {z :

1 ≤ |z| ≤ r, α + ε <

arg z <

β ? ε} 在ζ平面上的像包含在圆 {ζ : |ζ| ≤ h} 内, 其中 h =

1 ? ε β ? α r?ω . No.

6 龙见仁: 高阶复线性微分方程解的角域增长性

1537 另一方面, 圆{ζ : |ζ| ≤ h}(h <

1) 在z平面上的原像包含在域 ?(α, β) ∩ {z : |z| ≤ r} 内, 其中r=(21?h)1ω.变换 (2.1) 的逆变换为 z = eiθ0 (

1 + ζ

1 ? ζ )

1 ω . 引理

2 [14] 假设 f 在?(α, β) = {z : α <

arg z <

β} 内亚纯, 其中

0 <

β ? α <

2π. 对任 意给定的 ε ∈ (0, β?α

2 ). 令ω=πβ?α , η = ε β?α . 则下列不等式成立: T0(r, C, f(z(ζ))) ≤ 2T0 (

2 1 ? r )

1 ω , ?, f(z) + O(1), T0(r, ?ε, f(z)) ≤ rω ωη T0

1 ? ηr?ω , C, f(z(ζ)) + O(1), 其中 z = z(ζ) 是(2.1) 式的逆变换. 注 利用关系 T0(r, C, f(z(ζ))) = T(r, f) + O(1), 引理

2 及迭代 n 级的定义, 得ρn(f(z(ζ))) ≤

1 ω ρn,?(f(z)), n ≥ 1, (2.2) ρn,?ε (f(z)) ≤ ωρn(f(z(ζ))), n ≥ 2, (2.3) ρ1,?ε (f(z)) ≤ ω (1 + ρ1(f(z(ζ)))) . (2.4) 下面的引理通过使用类似于文 [15, 引理 1] 的方法可以得到其证明, 也可以参看文 [14, 引理 2.3]. 引理

3 假设 f 在?(α, β) = {z : α <

arg z <

β} 内亚纯, 其中

0 <

β ? α <

2π, z(ζ) 是 变换 (2.1) 的逆变换. 令F(ζ) = f(z(ζ)), ψ(ζ) = f(l) (z(ζ)). 则ψ(ζ) = l ........