PDF《上帝如何掷骰子？》

上帝如何掷骰子? ----量子概率及其跨学科思考 Jake 集智俱乐部 今日内容 ? 量子力学的昨天与今天 ? "复数概率"与"概率旋转" ? 概率分布的向量表示 ? 量子概率与希尔伯特空间 ? 图解不确定原理 ? 量子概率中的测量效应 ? 跨越学科的量子力学 ? 信号处理与量子力学 ? 广义不确定性原理 ? 量子概率与认知科学 ? 量子交互 量子力学的昨天与今天 量子力学之父(1900~1910) 迈克斯.

普朗克 (Max Plank) 阿尔伯特.爱因斯坦 (Albert Einstein) 1900: 黑体辐射 1905: 光电效应 光是什么? 粒子? 波? 英雄时代(1910~1930) 埃文.薛定谔 (Erwin Schrodinger) 薛定谔方程(1926) 尼尔斯.玻尔Niels Bohr in

1913 海森堡不确定原理

1927 海森堡Werner Heisenberg 集大成者(1930~1940) 狄拉克方程(1928) 《量子力学原理》1930 狄拉克Paul Dirac 1932年 《量子力 学的数学 基础》 冯诺依曼(von Neumann) 战场转移(1940~1950) 费曼(Richard Feynmann) 费曼图(

1948 ) 1942~1946 Manhattan Project 惠勒(John Wheeler) July 9,

1911 C April 13,

2008 1950~1970 Bell's theorem (1964) John Bell 杨振宁 Yang-Mill's equation

1954 1960~2012 标准模型(1960) Sheldon Glashow Steven weinberg Abdus salam Peter Higgs 希格斯玻色子(1960) 欧洲强子对撞机(2012) 量子计算 ? 费曼的思考:如果用量子系统模拟量 子系统是否会效率更高? ? 经典的01比特替换成了叠加态: ? 量子计算机利用叠加原理可实现真正 大规模的并行计算 ? 多量子比特 ? 量子运算运算 ? Shor的量子因数分解算法将摧毁经典 计算机RSA加密体系 量子通信 ? 量子纠缠被称为一种新的资源 ? 物理中的3E: Energy, Entropy, Entanglement ? 在0容量信道上通信 ? 量子状态不可拷贝 ? 量子隐形传态 各种交叉学科 ? 量子测量 ? 量子控制 ? 量子决策 ? 量子认知 ? 量子金融 ? …… "复数概率"与"概率旋转" 当概率变成复数 ? 虚数i进入物理学 ? 概率复数化与测量 ? 概率分布的向量表示 ? 让概率转起来!!! 概率复数化――一个游戏 ? 某事件的概率p(x):一个[0,1]之间的实数 ? 假如我强硬地让概率取复数: ? 并定义测量规则: ? 不会出现任何矛盾,但发现一个有趣的事实: ? 都表示同样的概率,但是θ可以取任何值 概率分布与向量表示 ? 考虑经典概率:投掷一枚硬 币有2个可能值: ? 如果投掷一个经典的骰子, 那么可能的概率分布就需要 用6个数来表示 ? 这就相当于6维空间中的一 个向量 p1 p2 p1|上>+p2|下> 思考:归一化条件∑p(xi)=1的几何 意义是什么? 事件 概率 上p1=0.4 下p2=0.6 量子概率分布的向量表示 Ψ

1 ψ

2 |ψ >=ψ 1|上>+ ψ 2|下> 思考:归一化条件∑|ψ|2=1的几何 意义是什么? ? 考虑量子概率:投掷一枚量 子硬币有2个可能值: ? 注意,归一化条件为: ? ∑|ψi|2=∑ψiψi *=1 事件 概率 上ψ1=0.5+0.5i 下ψ2=1/Sqrt(2) 几何表示 p(x1) p(x2) p(x3) 经典概率:归一化∑p(xi)=1 意味着所有的概率取值构成了单纯形 量子概率:归一化∑|ψ(xi)|2=1 意味着所有的复数概率取值构成了球面 注意,每个坐标ψ(xi)都是复数,原则上 画不出来 ψ(x1) ψ(x2) ψ(x3) 量子概率中的不兼容属性对 ? 当我们考虑硬币的一对属性:颜色={红,绿}和材质={ 铁,铜} ? 经典概率 ? 所有可能的事件有4种可能:{(红铁),(红铜),(绿铁),(绿铜)} ? 需要用4个概率加以描述 ? 4维空间中的向量 ? 量子概率 ? 兼容属性对: 4种可能:{(红铁),(红铜),(绿铁),(绿铜)} ,用4维空间中的向量描述. ? 不兼容属性对:不能同时测量这两种属性.2维空间中的向 量描述状态,两个属性对应两个有夹角的坐标系 让概率转起来 ? 称X-Y属性和X'-Y'属性构成不兼容属性 对?只有复数概率才能旋转 |X> |Y> X' Y' 向量|ψ> x' y' θ 在新的坐标系X'O'Y'下,向量还是那个 向量,长度不变,因此新坐标系下仍 然保持归一化条件,因此: 所以,要求矩阵U满足: 盒中的量子陀螺 ? 两套互斥事件: ? |上>, |下> ? 和|左>, |右> ? 假设上下属性和左右属 性不兼容,那会出现什 么情况呢? 图解不确定性原理 45o 设两个属性对上下和左右构成了不兼容属性对,它们之间的夹角是45度 |上> |下> |左> |右> 图解不确定性原理 45o 考虑一个概率分布在上下坐标下构成1|上>+0|下> |上> |下> |左> |右> 图解不确定性原理 45o 那么它在左右坐标下的投影就是 ,出现最不确定的概率分布(1/2,1/2) |上> |下> |左> |右> 图解不确定性原理 45o |上> |下> |左> |右> 同样的道理,在上下完全不确定的状态分布(1/sqrt(2),1/sqrt(2))在左右下则是完全确定的 不确定性与夹角有关 θ |上> |下> 不确定度正比于两个坐标的对易子A*B-B*A 量子概率中的"测量效应" 量子测量 A B 光源 C D 屏1 屏2 S A C D B 量子测量 A C D B 条件1:直接在屏2测量 量子测量 A C D B 条件2:先在屏1测量A或B 量子测量假设 A C D B 条件2:先在屏1测量A或B 量子测量 A C D B 条件2:再在屏2测量 量子概率的跨学科思考 信号处理与量子力学 ? 信号处理的基本方法:时-频变 换v.s. 量子力学中的基本假 设:动量、位置描述都遵循傅 立叶变换准则. ? 量子力学将系统的状态波函数 (复数概率分布)视为一种时 空信号,可以在不同域下描述 ? 万物的本质是否都是信号? ? 新的信号处理方法,诸如小波 分析是否会带来新的量子力学 ? ? 信号处理,包括图像处理、语 音信号处理、模式识别是否可 以借鉴量子力学? 傅利叶变换从本质讲就是一种坐标系变换! 广义不确定性原理 ? 量子力学中的不确定原理:动量与位置不能 同时精确测量 ? 信号处理中的不确定性原理:任何信号的分 辨率都不能同时在时域和频域上得到提高 ? 还存在着多种形式的不确定性原理,例如熵 形式的不确定原理: ? 熵等价于代码长度,因此存在着类似的不等 式: ? 代码长度可以看作是信号的非零元数量,因 此有E. Candès-陶的不确定性原理 ? 围绕着这种不确定性原理得出的"压缩感知 "理论有非常广泛地应用 Werner Heigsenberg 陶哲轩(1975~) 经典概率与量子概率 性质 经典概率运算 不兼容属性的量子概率 运算 联合概率:Pr(A∧B) Pr(A∧B)=Pr(B∧A) 无定义 条件概率:Pr(A|B) Pr(A|B)=Pr(A ∧ B)/P(B ) 条件概率:Pr(B|A) Pr(B|A)=Pr(A ∧ B)/P(A ) 全概率公式 不成立 条件概率的互易性: Pr(A|B)=Pr(B|A) 不满足 满足 双向随机性 不满足 满足 量子概率与交互不确定性 ? 本质上讲,任何观察过程都不可能 不对被观察系统造成影响 ? 参与者的宇宙:观察者实际上也是 参与者 ? 交互不确定性:由观察者的测量所 引发的不确定性 ? 量子概率实际上是对交互不确定性 的刻画 ? 我们不关心量子的本质是否需要观 察者介入 ? 宏观世界中有很多是存在着交互不 确定性的系统. 自观察系统 一个认知系统的类双缝实验 ? 基本任务 ?