PDF《Interrogation》

5 0

2 3

8 1

3 ?2 ?1

8 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

5 ?1

3 11

0 11

22 ?11

0 17

34 ?17

0 ?7 ?14

7 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

5 ?1

3 11

0 1

2 ?1

0 0

0 0

0 0

0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

5 0

5 10

0 1

2 ?1

0 0

0 0

0 0

0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 0

1 2

0 1

2 ?1

0 0

0 0

0 0

0 0 ? ? ? ? Si on consid` ere que les colonnes 1,

2 et 3, on obtient une solution au syst` eme αv1 + βv2 = v3. En fait, ? ca dit que v3 = v1 + 2v2. (8) De fa? con analogue, les colonnes 1,

2 et

4 impliquent que v4 = 2v1 ? v2. (9) Alors, Vect({v3, v4}) ? Vect({v1, v2}), car toute combinaison lin? eaire de v3 et v4 peut s'? ecrire comme combinaison lin? eaire de v1 et v2 si on utilise (8)-(9). De plus, les relations (8)-(9) sont inversibles. On en d? eduit v1 =

1 5 (v3 + 2v4) (10) v2 =

1 2 (v3 ?

1 5 (v3 + 2v4)). (11) D'o` u Vect({v1, v2}) ? Vect({v3, v4}).

3 (ii) (x, y, z, w) ∈ F si et seulement le syst` eme suivante a une solution ? ? ? ?

5 ?1 x

1 2 y

2 3 z

3 ?2 w ? ? ? ? ? ? ? ? ?

5 ?1 x

0 11 5y ? x

0 17 5z ? 2x

0 ?7 5w ? 3x ? ? ? ? ? ? ? ? ?

5 ?1 x

0 11 5y ? x

0 0 (5z ? 2x)/17 ? (5y ? x)/11

0 0 (5w ? 3x)/(?7) ? (5y ? x)/11 ? ? ? ? Ce syst` eme a une solution ssi (5z ?2x)/17?(5y ?x)/11 =

0 et (5w ?3x)/(?7)? (5y ? x)/11 = 0. En simpli?ant, on obtient le syst` eme d'? equations cart? esiennes ?8x + 11w + 7y =

0 (12) 11z ? x ? 17y =

0 (13) (iii) Il faut simplement v? eri?er que v1, v2 ∈ G, car G est un sous-espace vectoriel de R4 et on a vu dans le cours que tout espace vectoriel que contient v1, v2 contient aussi Vect({v1, v2}). Comme v1 satisfait l'? equation de G (11*2+11*3?9*5?10*1 = 0), on d? eduit que v1 ∈ G. Avec un calcul analogue, on preuve que v2 ∈ G. F = G car la dimension de F est deux (comparer avec la partie (ii) de l'exer- cice pr? ec? edent) et la dimension de G est

3 (en g? en? eral, un hyperplan dans Rn a dimension n ? 1). 4