PDF《安徽师范大学附属中学 2018年高中自主招生考试数学试卷》

3 4 (第21 题) (图2) 19.(10 分)如图,在ABCD 中, , ,F 为AD 的中 点,CE⊥AB 于E,设(60° ° ). (1)当°时,求CE 的长;

(2) 当60° ° 时, 是否存在正整数 k, 使得 ? 若存在,求出 k 的值,若不存在,请说明理由. 20. (10 分) 如图, 直线 和 与反比例函数 的 图像分别交于两点 A、C 和B、D,连接 AB,BC,CD,DA. (1)四边形 ABCD 一定是 四边形;

(2)四边形 ABCD 可能是矩形吗?若可能,求,满足 的关系式;

若不能,说明理由;

(3) 设P(,),Q(,)()是函数 图像上的任意两点, ,试判断 a, b 的大小关系,并说明理由. 21. (10 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A (0, 4) , 点B是x轴正半轴上一点,连接 AB,过点 A 作AC⊥AB,交x轴于点 C,点D是点 C 关于点 A 的对称点,连接 BD,以AD 为直径作⊙Q 交BD 于点 E,连接并延长 AE 交x轴于点 F,连接 DF. (1)求线段 AE 的长;

(2)若 ,求 的值;

(3)若DEF 与AEB 相似,求 的值. 22.(10 分)问题:如图 1,a、b、c、d 是同一平面内的一组等距平行线(相邻平行线间的距离 为1) .画出一个正方形 ABCD,使它的顶点 A、B、C、D 分别在直线 a、b、d、c 上,并计 算它的边长. 小明的思考过程: 他利用图

1 中的等距平行线构造了 的正方形网格,得到了辅助正方形 EFGH,如图

2 所示, 再分别找到它的四条边的三等分点 A、B、C、D,就可以画出一个满足题目要求的正方形. 请回答:图2中正方形 ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法,解决下列问题: (1) 请在图

3 的菱形网格 (最小的菱形有一个内角为 60° , 边长为 1) 中, 画出一个等边 ABC, 使它的顶点 A、B、C 落在格点上,且分别在直线 a、b、c 上,并直接写出等边 ABC 的边长(只 (图 1) (第20 题) (第19 题)

4 4 需要画出一种即可) . (2)如图 4,a、b、c 是同一平面内的三条平行线,a、b 之间的距离是 ,b、c 之间的距离是 , 等边 ABC 的三个顶点分别在 a、b、c 上,直接写出 ABC 的边长. 23.(14 分)已知二次函数 的图像是经过 轴上点 C(0,2)的一条抛物 线,顶点为 A,对称轴是经过点 H(2,0)且平行于 轴的一条直线.点P是对称轴上位于点 A 下方的一点,连接 CP 并延长交抛物线于点 B,连接 CA、AB. (1)求这个二次函数的表达式及顶点 A 的坐标;

(2)当∠ACB=45° 时,求点 P 的坐标;

(3)将CAB 沿CB 翻折后得到 CDB,问点 D 能否恰好落在坐标轴上?若能,求点 P 的坐标,若不能,说明理由. 24. (12 分)对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形 , 给出如下定义:点P为图形 上一点, 点Q为图形 上一点, 当点 M 是线段 PQ 的中点时, 称点 M 是图形 , 的 中立点 . 如 果点 P( , ),Q( , ),那么 中立点 M 的坐标为 . 已知,点A(-3,0),B(0,4),C(4,0). (1)连接 BC,在点 D( ,0),E(0,1),F(0, )中,可以 成为点 A 和线段 BC 的 中立点 的是 ;

(2)已知点 G(3, 0), ⊙G 的半径为 2. 如果直线 上 存在点 K 可以成为点 A 和⊙G 的 中立点 ,求点 K 的坐标;

(3)以点 C 为圆心,半径为

2 作圆.点N为直线 y = 2x +

4 上的一点,如果存在点 N,使得 轴上的一点可以成为 点N与⊙C 的 中立点 ,直接写出点 N 的横坐标 的 取值范围. (图3) (图4) ........