PDF《2018 年高中自主招生考试数学试题参考答案》

第1页共6页2018 年高中自主招生考试数学试题参考答案

一、选择题(本大题共

6 小题,每小题

4 分,共24 分.

) 1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B

二、填空题(本大题共

10 小题,每小题

4 分,共40 分. ) 7. -1 8. 9. 10.12 11.

6 12. 13. 14. 或15. 16.( , )

三、解答题(本大题共

8 题,共86 分. ) 17.(本题

10 分) 解:方程两边同乘(x+2)(x-2),得2(x+2)+mx=3(x-2). 整理,得(1-m)x=10.2 分 ①当 1-m=0 时,该整式方程无解,此时 m=1.4 分 ②当 1-m≠0 时,该整式方程的解为 x=

10 1-m

5 分 若该整式方程的解是原分式方程的增根,则原分式方程无解, 即10 1-m +2=0 或10 1-m -2=0.7 分 解得 m=6 或m=-4.9 分 综上,当m=1 或6或-4 时,原方程无解.10 分18.(本题

10 分) (1)解:设OA:y1=k1x, ∵过点(1.2,72) , ∴y1=60x.1 分设BC:y2=k2x+b, ∵过点(0.2,0) , (1.1,72) ∴ ? ? ? 0=0.2k+b 72=1.1k+b , 解得 y2=80x-16.4 分(2)0.1 或0.5 或1.1.7 分(3)解:如图.10 分第2页共6页19.(本题

10 分)解: (1)当°时, .此时点 E 与点 A 重合(如图 1) ,

3 分(2)存在正整数 k=3,使得

5 分 理由:如图 2,延长 EF、CD 交于点 G. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠A=∠FDG,∠AEF=∠G. ∵F 为AD 的中点,∴AF=FD.∴AEF≌DGF.∴EF=FG.7 分∵∠ECG=∠BEC=90° ,∴CF=FG.∴∠FCG=∠G.∴∠EFC=2∠G.8 分∵DF=CD=5,∴∠FCG=∠DFC=∠G.9 分∴∠EFD=3∠G=3∠AEF.10 分20.(本题

10 分) 解: (1)平行;

2 分(2)当AC=BD(或 )时,四边形 ABCD 是矩形.3 分 因为正比例函数 与反比例函数 的图像在第一象限相交于点 A, ∴ ,解得 (负根舍) ,将 代入 得,∴点 A 的坐标为( , ) ,同理点 B 的坐标为( , ) ,?????5 分又∵OA=OB,∴ ,两边平方得,整理后得 , 即6分(3)∵P( , ) ,Q( , ) ( )是函数 图像上的任意两点,

7 分8分 (图2) (图1) 第3页共6页∴,10 分21.(本题

10 分) 解: (1)∵AD 是⊙Q 的直径,∴∠AEB=∠AED=90° .∴∠AEB=∠AOB=90° . ∵BA 垂直平分 CD,∴BC=BD.∴∠ABO=∠ABE. 又∵BA=BA,∴ABE≌ABO.∴AE=AO=4.2 分(2)设 ,则 . 在RtABO 中,由得,解得 .

3 分∵∠EAB+∠ABE=90° ,∠ACB+∠ABC=90° ,∴∠EAB=∠ACB. ∵∠BFA=∠AFC,∴BFA∽AFC.4 分∴.即

5 分(3)①如图 1,当DEF∽AEB 时,有∠BAE=∠FDE. ∴∠ADE=∠FDE.∴BD 垂直平分 AF.∴AB=BF.∴∠BAE=∠BFE. ∴∠BAE=∠BFE=∠BAO=30° .∴ .

7 分 ②如图 2,设⊙Q 交y轴于点 G,连接 DG,作FH⊥DG 于H. 当DEF∽BEA 时,有∠ABE=∠FDE. ∴∠DAE=∠DAG=∠FDE=∠FDH.∴AG=AE=4,FE=FH=OG=8.

9 分∴的值是 或10 分 (图 1) (图2) 第4页共6页22.(本题

10 分) 图2中边长

1 分(1)画图如下,边长

7 分(2)边长

10 分 两种画图方案(画出其中一种即可) : 23.(本题

14 分) 解: (1)由抛物线的轴对称性可知,抛物线的图像经过点(0,2)和点(4,2) , 则 .解得

2 分 ∴当 时, . ∴顶点 A 的坐标是(2,6)

3 分(2)如图 1,过点 C 作CE⊥AH 于E,过点 P 作PF⊥AC 于F, 则CE=2,AE=4, ∵∠AFP=∠AEC=90° ,∠FAP=∠EAC, ∴AFP∽AEC. ∴ . ∵∠FCP=45° , ∴CF=PF.5 分设CF=PF=m,则AF=2m, ∴ . ∴ . ∴ .∴ . ∴P(2, )

7 分 (图 3) A B C (图3) B C A 第5页共6页(3)①如图 2,当点 D 落在 x 轴的正半轴上时, CD=AC= ,又∵OC=2,∴OD=4. 由对称性可知 AP=PD, 设PH=m,则AP=PD=6-m. 在Rt DPH 中,有,即,解得 . ∴P1(2, )

9 分 ②如图 3,当点 D 落在 y 轴的负半轴上时,CD=AC= , 由对称可知∠DCP=∠ACP,又∵AH∥OC,∴∠DCP=∠APC. ∴∠APC=∠ACP.∴AC=AP= .∴PH= . ∴P2(2, ) .?11 分PBHD(图 3) P B H D (图2) B H P D (图4) P B H E F (图1) 第6页共6页③如图 4,当点 D 落在 x 轴的负半轴上时,CD=AC= , 又∵OC=2,∴OD=4.∴DH=AP=6. 连接 AD,∴直线 CH 是线段 AD 的中垂线,又点 P 在直线 AH 上, ∴点P与点 H 重合.∴P3(2,0)