PDF《第五章》

22 LU 分解 A LU = 其中:L --- 单位下三角矩阵,U --- 非奇异上三角矩阵 LU 分解 记: ,则111()12,nnLLLLUA???=?注:LU 分解中要求 L 是单位下三角,U 是非奇异上三角!

23 LU 分解存在唯一性 LU 分解存在 ( )

0 k kk a ≠ 高斯消去法不被中断 定理: A 存在唯一的 LU 分解的充要条件是 A 的 所有顺序主子式都不为零. 证明:板书 所有顺序主子式不为零

24 列主元 Gauss 消去法 Gauss 消去法有效的条件是 主元全不为零! 例:解线性方程组

1 2

0 1

1 1

0 1 x x ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 先选取列主元: ( ) | | = k k i k a { } ( ) max | |

0 k ik k i n a ≤ ≤ ≠ ② if ik ≠ k then 交换第 k 行和第 ik 行③消元 ? 列主元 Gauss 消去法 在第 k 步消元时,在第 k 列的剩余部分选取主元 ? 为什么要选主元?

25 列主元 Gauss 消去法 算法 (列主元 Gauss 消去法 ) for k=1 to n-1 { } ( ) ( ) | | =max | | k k k i k ik k i n a a ≤ ≤ if then stop ( ) =0 k k i k a if ik ≠ k then swap k-th and ik-th row (including b) ik ik kk m a a = for i=k+1 to n , 1, 2,..., ij ij ik kj i i ik k a a m a j k k n b b m b = ? end end

1 , , 1,...,2,1 ( ) n n n n i i ij j ii j i x b a x b a x a i n = + = = ? = ? ∑ find

26 PLU 分解 ? 列主元 Gauss 消去法对应的矩阵分解为 PLU 分解 定理:若A非奇异,则存在排列矩阵 P,使得 PA = LU 其中 L 为单位下三角矩阵,U 为上三角矩阵 ? 列主元 Gauss 消去法比普通 Gauss 消去法要多一些比 较运算,但比普通高斯消去法稳定 ? 列主元 Gauss 消去法是目前直接法的首选算法 (板书:列主元 Gauss 消去法对应的矩阵分解)

27 全主元Gauss消去法 ? 全主元高斯消去法 第k步消元时,在剩余的 n-k 阶子矩阵中选取主元 ① 先选取全主元: ( ) | | = k k k i j a { } ( ) , max | | k ij k i j n a ≤ ≤ ② if ik ≠ k then 交换 第k行和第ik 行if jk ≠ k then 交换 第k列和第jk 列③消元 ? 列交换改变了 xi 的顺序,须记录交换次序,解完后再换回来 ? 全主元高斯消去法具有更好的稳定性,但很费时,在实际计 算中一般很少采用

28 作业 1. 教材第

175 页:1,2,5,7,11 提示: ? 第5题只需考虑 U 是下三角情形 ? 第11 题要求 L 单位下三角,U 非奇异上三角