PDF《科目名称：高三數学》

5 微积分初步 ?学 一个以机警敏捷而著称的英雄,竟然跑?过因动作 迟缓而闻名的乌?,这可能吗? 如果可能,对於被警员追捕的小偷??,可就是一 大福音?.因为,只要小偷在逃跑的时候与警员有一段 距?,那麽无?警员跑得多快,都?可能抓住他. 显然,这与我们现实生活中的情形并?相符.可是,芝?的分析却好象头头 是道!那麽问题到底出在哪儿呢? 当时,古希?的人们存在一种观点 时间和空间都是可以无限分割的 ,芝 ?反对这种观点.他提出 追?? 是用??明:如果时间和空间可以无限分 割,那麽阿基里斯就追?上乌?.他认为,将?程分为无穷多份,走完这无穷多 份就需要无限的时间. 芝?并?是真的认为阿氏追?上乌?,问题是在于 他和当时很多学者都?知道何时何地阿氏才可以追及. 因为,古希?时代的人是无法处?无限运算的,对於无 限个?目相加感到困惑?解. 在希?时代, 追?? 违背人们的常?.希?人明知阿基?斯一定能追上 乌?,但却无法证明 追?? 错在何处,这就成为希??学史上有名的难题, 给学术界以极大的骚动,?激?学家们要认真研究 无限 、研究 运动 .直到 微积分时代,这个问题才得以解决.同学们,通过学习微积分,我们将在后面的 课程中解决此问题. 有?变?,运动进入??学.微积分就是基于研究事物运动、变化现象的 需要而产生的一门?学.微积分的研究对象是变?与函?. 初等?学中的一次函?,二次函?,指?函?,对?函?及三角函?等, 对 这些函?性质的研究,都是通过坐标法画出函?图像?进?研究. 然而,单凭坐标法,还?足以深刻掌握函?的变化?态.微积分就是在坐标 法的基础上,引进?一种新的计算工具----极限,?用极限?进一步研究函?的. ?麽是极限呢?在?学中,简单地讲, 极限 就是指变?的变化趋势.下 面举一?: 2006/2007 学?教学设计奖?计划获奖作品

6 微积分初步 ?学 极限的思想方法,可以追溯到古代.早在我国魏晋 时期杰出的?学家?徽於公元

263 ?创?? 割圆术 . (powerpoint 演示) ?徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入??学证 明.他从圆内接正?边形开始割圆, 割之弥细,所失弥 少,割之又割,以至?可割,则与圆周合体,而无所失 矣. 也就是?将圆内接正多边形的边? n 无限增大时,则它们与圆周长的差就 越?越小,而当边??能再加的时候,圆内接正多边形的周长的极限就是圆的周 长. 这种 割圆术 所运用的思想方法,正是本章中将要学习的极限思想,即用无 限逼近的方式?研究??的变化趋势的思想. 设圆的半径为 ,可以得出圆的内接正 R n 边形的周长为 n sin nR

2 Pn π = ,?徽割圆时所用 的一系?圆内接正多边形的周长组成??:

3 p

4 p

5 p

6 p n p 即3sin R

3 2 π * ,

4 sin R

4 2 π * ,…, n sin nR

2 π * ,… 当n无限增大时,观察圆内接正 n 边形的周长 ,从而确定圆的周长.即 周长 是否应无限趋近於圆周长 n P n P R 2π 呢?通过学习极限知?,我们将解决这? 问题. 在?学中,极限的概?非常重要.研究变?在无限变化中的变化趋势,从有 限中认?无限,从近似中认?精确,从?变中认?质变,都要用到极限. 2006/2007 学?教学设计奖?计划获奖作品

7 微积分初步 ?学 与?徽?似的是,古希?的阿基米德也用正多边形法去求圆周?.但是阿基 米德是用归谬法证得这一结果的,避开?极限概?,而?徽却大胆地应用?以直 代曲、无限趋近的思想方法;