PDF《数学（理工类）》

11 ) 在极坐标系中,直线π4cos( )

1 0

6 ? ? ? ? ? 与圆2sin ? ? ? 的公共点的个数为.(12)若a,b?R ,

0 ab ? ,则4441abab ? ? 的最小值为 . (13) 在ABC 中,

60 A ? ? ? ,

3 AB ? ,

2 AC ? . 若2BD DC ? ,AE AC AB ? ? ? ( ? ?R ) , 且4AD AE ? ? ? ,则?的值为 . (14)用数字1

2 3

4 5

6 7

8 9 组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位 数,这样的四位数一共有 个. (用数字作答)? 数学(天津卷・理工) 第4页(共5页) 三.解答题:本大题共

6 小题,共80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分

13 分) 在ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c .已知 a b ? ,

5 a ? ,

6 c ? ,

3 sin

5 B ? . (Ⅰ)求b 和sin A 的值;

(Ⅱ)求πsin(2 )

4 A ? 的值. (16) (本小题满分

13 分) 从甲地到乙地要经过3个十字路口, 设各路口信号灯工作相互独立, 且在各路口遇到 红灯的概率分别为

1 2 ,

1 3 ,

1 4 . (Ⅰ)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量 X 的分布列和数 学期望;

(Ⅱ)若有

2 辆车独立地从甲地到乙地,求这

2 辆车共遇到1个红灯的概率. (17) (本小题满分

13 分) 如图,在三棱锥 P ABC ? 中, PA ? 底面 ABC ,

90 BAC ? ? ? .点D,E ,N 分别为棱 PA ,PC ,BC 的 中点, M 是线段 AD 的中点,

4 PA AC ? ? ,

2 AB ? . (Ⅰ)求证: MN∥平面 BDE ;

(Ⅱ)求二面角C EM N ? ? 的正弦值;

(Ⅲ)已知点 H 在棱 PA 上,且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为

7 21 ,求线段 AH 的长. A C N D B E M P 数学(天津卷・理工) 第5页(共5页) (18) (本小题满分

13 分) 已知? ? n a 为等差数列,前n项和为 n S ( * n?N ) ,? ? n b 是首项为

2 的等比数列,且公 比大于

0 ,

2 3

12 b b ? ? ,

3 4

1 2 b a a ? ? ,

11 4

11 S b ? . (Ⅰ)求? ? n a 和? ? n b 的通项公式;

(Ⅱ)求数列? ?

2 2

1 n n a b ? 的前 n 项和( * n?N ) . (19) (本小题满分

14 分) 设椭圆

2 2

2 2

1 x y a b ? ? (

0 a b ? ? )的左焦点为 F ,右顶点为 A ,离心率为

1 2 .已知 A 是 抛物线

2 2 y px ? (

0 p ? )的焦点, F 到抛物线的准线l 的距离为

1 2 . (Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程;

(Ⅱ)设l 上两点 P ,Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B ( B 异于点 A ) , 直线 BQ 与x轴相交于点 D .若APD 的面积为

6 2 ,求直线 AP 的方程. (20) (本小题满分

14 分) 设a?Z ,已知定义在 R 上的函数

4 3

2 ( )

2 3

3 6 f x x x x x a ? ? ? ? ? 在区间 (1 2) , 内有一 个零点

0 x , ( ) g x 为()fx的导函数. (Ⅰ)求()gx的单调区间;

(Ⅱ)设00[1 ) ( 2] m x x ? ? , , ,函数

0 h x g x m x f m ? ? ? ,求证:

0 ( ) ( )

0 h m h x ? ;

( Ⅲ ) 求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且00[1 ) ( 2] p x x q ? ? , , ,满足

0 4

1 p x q Aq ? ≥ .