PDF《第四章》

11 收敛性与稳定性

0 lim d n b i i a n i A f x x f x x ρ →∞ = = ∑ ∫ 可以证明:当a, b 为有限数,且f(x) ∈C[a, b] 时Gauss 型公式是收敛的 令2()()ifxlx=220()()d()nbijijiajxlxxAlxAρ===∑∫0iA>

Gauss 型公式是稳定的

12 Gauss 公式与正交多项式 ? 积分区间: [-1, 1],权函数: ρ(x) =

1 ? 利用正交多项式构造 Gauss 求积公式 ? 积分区间: [-1, 1],权函数: Gauss-Legendre 求积公式 Gauss-Chebyshev 求积公式

2 1 ( )

1 x x ρ = ?

13 Gauss-Legendre 求积公式 ? 积分区间: [-1, 1], 权函数: ρ(x) =

1 Gauss 点=Legendre 多项式 pn+1(x) 的零点

1 1

0 ( ) d ( ) n i i i f x x A f x ? = ≈ ∑ ∫ ? G-L 求积公式:

14 低阶 G-L 公式 ? n =0 时, G-L 求积公式: Gauss 点:

0 0 x =

1 1 ( ) d

2 (0) f x x f ? ≈ ∫ 将f(x)=1 代入求出 A0 ? n =1 时, 两点 G-L 求积公式: Gauss 点:

0 1

3 3 ,

3 3 x x = ? =

1 1

3 3 ( ) d

3 3 f x x f f ? ? ? ? ? ≈ ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∫ 将f(x)=1, x 代入 求出 A0 , A1

2 1

1 P ( ) (3 1)

2 n x x + = ?

1 P ( ) n x x + =

15 低阶 G-L 公式 ? n =2 时, 三点 G-L 求积公式: Gauss 点:

0 1

2 15

15 , 0, ,

5 5 x x x = ? = =

1 1

5 15

8 5

15 ( ) d (0)

9 5

9 9

5 f x x f f f ? ? ? ? ? ≈ ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∫

3 1

1 P ( ) (5

3 )

2 n x x x + = ?

16 更多 G-L 公式 当n>

3时,可用数值方法计算 Pn+1(x) 的零点 (教材122页) n 节点个数 Gauss点Gauss系数

0 1 0.0000000 2.0000000

1 2 ±0.5773503 1.0000000

2 3 ±0.7745967 0.0000000 0.5555556 0.8888889

3 4 ±0.8611363 ±0.3399810 0.3478548 0.6521452

4 5 ±0.9061798 ±0.5384693 0.0000000 0.2369269 0.4786287 0.5688889

5 6 ±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919 0.17132449 0.36076157 0.46791393

17 G-L 公式余项 ? 余项公式 [ ] [ ]

4 2

3 (2 2)

3 2 ( 1)! ( ) (2 3) (2 2)! n n n f n n η + + + = + + η ∈ (-1, 1) (2 2)

1 2

1 1 ( ) [ ] ( ) d (2 2)! n n f R f P x x n η + + ? = + ∫ ?

18 一般区间上的 G-L 公式 做变量代换

2 2 b a b a x t ? + = +

1 1

0 ( ) d ( ) d ( )

2 n b i i a i b a f x x g t t A g t ? = ? = ≈ ∑ ∫ ∫ ( )

2 2 b a b a g t f t ? + ? ? = + ? ? ? ? ? 积分区间: [a, b], 权函数: ρ(x) =

1 19 G-L公式举例 例:用四点G-L公式 (n=3) 计算定积分

2 2

0 cos( ) d x x x π ∫ 解:令44xtππ=+()22()1cos ( 1)

16 4 g t t t π π = + + ( )

2 1

2 2

2 0

1 cos( ) d

1 cos ( 1) d

4 16

4 x x x t t t π π π π ? = + + ∫ ∫ [0.3479 ( 0.8611) 0.6521 ( 0.3400)

4 0.6521 (0.3400) 0.3479 (0.8611)] g g g g π ≈ ? + ? + + 0.4674 ≈ [ ]=0.46740110027234 I f ?

20 Gauss-Chebyshev 求积公式 ? 积分区间: [-1, 1],权函数: Gauss 点=Chebyshev 多项式 Tn+1(x) 的零点

2 1

1 0 ( (

1 1 ) d ) n i i i f x x A f x x ? = ? ≈ ∑ ∫ ? G-C 求积公式:

2 1 ( )

1 x x ρ = ?

21 G-C 公式 ? Tn+1(x) 的零点

2 1 cos

2 2 i i x n π + ? ? = ? ? + ? ? (i = 0, 1, … , n) ? Gauss 系数

1 i A n π = + (i = 0, 1, … , n)

2 1

1 0 ( )

1 1 d ( )

1 n i i f x x f x n x π ? = ≈ + ? ∑ ∫ ? G-C 求积公式: ? 余项: [ ] (2 2)

2 2

2 ( )

2 (2 2)! n n R f f n π η + + = + η ∈ (-1, 1)

22 低阶 G-C 公式 ? n =

0 1

2 1/

2 1 (1 ) ( ) d (0) x f x x f π ? ? ? ≈ ∫ ? n =

1 ( ) ( )

1 2 1/

2 1 (1 ) ( ) d

2 2

2 2

2 x f x x f f π ? ? ? ? ? ≈ ? + ? ? ∫ ? n =

2 两点 G-C 公式 三点 G-C 公式

1 2 1/

2 1 (1 ) ( ) d

3 2

0 3