PDF《核心素养怎样考 （三）》

核心素养怎样考( 三) 李尚志 ( 北京航空航天大学

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8 3 ) 测试题1 5.

平面上建立了直角坐标系, A, B 是平面 上两点.将O B 绕原点O 旋转直角到O B ′.已知 A, B ′ 的坐标分别是( 3,

1 )与( -2,

2 ) .则点 B 到 直线O A 的距离为 . 图1 解法1 此题是这套题中第一个容易题,既 不像第1, 2, 4题那样难以入门,也不像第3题设 了陷阱.可以照章办事求出点B 坐标再求出直线 O A 方程,再利用点到直线距离公式算出 B 到直 线O A 的距离. 唯一设置的障碍是根据 O B⊥O B ′和| O B |= | O B ′ |由B ′ 的坐标( -2, 2)算出 B 的坐标.一 个方法是用复数-2+2 i表示向量 → t t O B ′,再乘i或-i得到 → t t O B表示的复数±i ( -2+2 i ) = ( 2+

2 i ) ,得到B 的坐标( 2, 2)或( -2, -2) .另一方 法是凑出0=2*( -2) +2*2=( 2, 2) ・( -2,

2 ) 得到 → t t O B=( 2, 2) ⊥ → t t O B ′,且满足| O B |

2 =2

2 +

2 2 =( -2 )

2 +2

2 =| O B ′ |

2 ,得到 → t t O B=±( 2,

2 ) . 再写出直线 O A 的方程x-3 y=0.于是 B 到直线O A 的距离 | B D |= | 2-3*2 |

1 2 +3 2=410=2105解法2 SO A B =

1 2 | O A | | B D | =

1 2 | O A | | O B | |s i n ∠A O B | =

1 2 | O A | | O B ′ | |s i n ( ∠A O B ′-9

0 ° ) | =

1 2 | O A | | O B ′ | |c o s ∠A O B ′ | =

1 2 | → t t O A・ → t t O B ′ |, | B D | = | → t t O A・ → t t O B ′ | | O A | = | ( 3,

1 ) ・( -2,

2 ) |

3 2 +1 =

4 10=2105.解法2不需算B 的坐标,直接用1

2 → t t O A・ → t t O B ′ 求出O A B 面积. 第1 1题( 解答题)也是同样算 法,将SO A B =

1 2 | O A| | O B|s i n∠A O B 换成12|OA||OB′|c o s∠A O B ′ =

1 2 → t t O A・ → t t O B ′来计算.希望学生通过考试学到这个算法. 6.将空间直角坐标系的坐标轴绕某条直线 旋转,使O x 轴旋转到O y 轴, O y 轴旋转到O z 轴.则旋转角度是 .( 求最小正角) 解 旋转的效果是O x→O y→O z→O x.如果 将这个旋转动作重复3次,则Ox先旋到O y 再 旋到O z 再回到O x.而O y 先旋到O z 再到O x 再 回到O y.同样地, O z 到O x 再到O y 再回到O z. 总之, 重复三次之后 O x, O y, O z 都转了一圈回到 原来位置,都旋了3

6 0 ° .设每次旋α,则3 α=3

6 0 ° α=3

6 0 ° ÷3=1

2 0 ° .如图2. 图2

1 2

0 1 8年第5 7卷第5期 数学通报 答案:

1 2

0 ° . 点评:容易犯的错误是认为 O x 转到O y 是 旋转9

0 ° .如果那样, 由O x 到O y 组成这个9

0 ° 所 在的平面就应该垂直于转轴,转轴就应该是 O z 轴.但既然O y 转到了O z, O z 就不是不动而是 转到O x. 7.在正方体 A B C D-A ′ B ′ C ′ D ′ 中, P 是侧 面B B ′ C ′ C 内一动点, 若P到直线BC与直线C′D′的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线 是.图3 解C′D′垂直于平面B B ′ C ′ C,垂足为 C ′. 平面B B ′ C ′ C 内任一点 P 到C ′ D ′ 的距 离就是|PC′|. P 到两条直线B C, C ′ D ′ 距离相等, 就是 到点C ′ 与直线B C 距离相等,轨迹是以C ′ 为焦 点, B C 为准线的抛物线在正方形B B ′ C ′ C 范围 内的部分. 答案: 抛物线段. 数学建模:旧知识攻克新问题 书上明文定义了在同一平面内到一个定点和 一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.但 本题是到两条定直线的距离相等的点的轨迹,没 有现成的定义.考查的是你能否利用立体几何知 识将问题转化为到定点与定直线距离相等的点的 轨迹.这种转化的能力就是数学建模的能力,利 用现成知识解决不现成的问题的能力,是重要的 核心素养. 不是考你叙述怎么转化,而是考你是 否能通过这种转化解决问题. 8.某商场抽奖, 中奖率10%. 以下第件事发生的概率更大. (