PDF《2019 北京石景山区高三一模 数学（文）》

14 分) 已知椭圆 的离心率为 ,右焦点为 ,左顶点为 ,右顶点 在直线 : 上. (Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)设点 是椭圆 上异于 , 的点,直线 交直线 于点 ,当点 运动时,判断以 为直径的圆与 直线 的位置关系,并加以证明.

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12 数学试题答案

一、选择题:本大题共

8 个小题,每小题

5 分,共40 分. 题号

1 2

3 4

5 6

7 8 答案 C B C D D C A B

二、填空题:本大题共

6 个小题,每小题

5 分,共30 分. 9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

(答案不唯一) 14. , .

三、解答题:本大题共

6 个小题,共80 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题

13 分) 解:(Ⅰ)因为 ( , ), 所以 ( , ). 又因为 , 所以 ( ). 所以 . (Ⅱ) , 所以 . 16.(本小题

13 分) 解:(Ⅰ)在中, , ∴ , ∵ , ,

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12 由正弦定理 得,∴.(Ⅱ)由余弦定理 得,∴,解得 或 (舍) ∴ . 17.(本小题

14 分) (Ⅰ)证明:在矩形 中, ∥ , ∵ 分别为 的中点, ∴ ∥ ,且,∴∥,∵平面 , 平面 , ∴ ∥平面 . (Ⅱ)证明:在矩形 中, , 又∵ , ∴ ,又∴平面 , 又∴平面 , ∵ 平面 ,

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12 ∴平面 平面 . (Ⅲ)解:作于,∵平面 , 且 平面 , ∴ , ∵ 分别为 的中点, ∴ ∵ , ∴ 平面 , ∵ 平面 , ∴ , ∵矩形 平面 ,且平面 平面 , ∴ 平面 , ∴ 平面 , 在直角三角形 中, , ,可求得 . 18.(本小题

13 分) 解:(Ⅰ)由男职工的年龄频率分布直方图可得: . 所以 . (Ⅱ)该单位[25, 35)岁职工共

24 人,由于[25, 35)岁男女职工人数相等,所以[25, 35)岁的男职工共

12 人. 由(Ⅰ)知,男职工年龄在[25, 35)岁的频率为 , 所以男职工共有 人, 所以女职工有 人,

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12 所以男女比例为 ∶ . (Ⅲ)由男职工的年龄频率分布直方图可得:男职工年龄在[25, 30)岁的频率为 . 由(Ⅱ)知,男职工共有

80 人,所以男职工年龄在[25, 30)岁的有

4 人,分别记为 . 又全体员工年龄在[25, 30)岁的有

6 人,所以女职工年龄在[25, 30)岁的有

2 人,分别记为 . 从年龄在 25~30 岁的职工中随机抽取两人的结果共有 种情况, 其中一男一女的有 种情况, 所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为 . 19.(本小题

13 分) 解:(Ⅰ) , , , 由题设知 ,即 ,解得 . 经验证 满足题意. (Ⅱ)方法一: 令 ,即 ,则,(1)当时,即 对于任意 有 ,故 在 单调递减;

对于任意 有 ,故 在 单调递增, 因此当 时, 有最小值为 成立. (2)当时,即 对于任意 有 ,故 在 单调递减,

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12 所以 . 因为 的图象恒在 轴上方, 所以 , 因为 ,所以 ,即,综上, 的最大值为 . 方法二:由题设知,当时, , (1)当时, . 设 ,则 , 故在单调递减, 因此, 的最小值大于 ,所以 . (2)当时, 成立. (3)当时, , 因为 ,所以当 时 成立. 综上, 的最大值为 . 20.(本小题

14 分) 解:(Ⅰ)依题可知 , 因为 , 所以 故椭圆 的方程为 . (Ⅱ)以 为直径的圆与直线 相切.

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12 证明如下:由题意可设直线 的方程为 . 则点 坐标为 , 中点 的坐标为 , 由得.设点 的坐标为 ,则.所以 , . 因为点 坐标为 , ①当时,点 的坐标为 ,直线 的方程为 , 点 的坐标 为.此时以 为直径的圆 与直线 相切. ② 当时,直线 的斜率 . 所以直线 的方程为 ,即.故点 到直线 的距离 (或直线 的方程为 , 故点 到直线 的距离 )

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12 又因为 ,故以 为直径的圆与直线 相切. 综上得,当点 运动时,以 为直径的圆与直线 相切. 解法二: (Ⅱ)以 为直径的圆与直线 相切. 证明如下: 设点 ,则①当时,点 的坐标为 ,直线 的方程为 , 点 的坐标为 , 此时以 为直径的圆 与直线 相切, ② 当 时直线 的方程为 , 点D的坐标为 , 中点 的坐标为 ,故 直线 的斜率为 , 故直线 的方程为 ,即,所以点 到直线 的距离 故以 为直径的圆与直线 相切. 综上得,当点 运动时,以 为直径的圆与直线 相切. 【若有不同解法,请酌情给分】